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So gehts:
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[quote="henning.u"][b]Meine Frage:[/b] Aufgabe: Ein Potential sei in Zylinderkoordinaten gegeben, [latex] U(\vec{r})=U(\rho, \varphi, z) [/latex]. (a) Stellen Sie den Gradienten von [latex] U [/latex] in der Zylinderkoordinatenbasis [latex] \left(\vec{e}_{\rho}, \vec{e}_{\varphi}, \vec{e}_{z}\right) [/latex] dar, wobei die Koeffizienten durch die partiellen Ableitungen [latex] \partial U / \partial_{\rho}, \partial U / \partial_{\varphi} [/latex] und [latex] \partial U / \partial_{z} [/latex] auszudrücken sind. Der Zusammenhang zwischen der Zylinderkoordinatenbasis und den kartesischen Basisvektoren [latex] \left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) [/latex] ist aus der Vorlesung bekannt, siehe im Skript unten. (b) Zeigen Sie, dass bei der Bewegung in diesem Potential Folgendes gilt: Wenn [latex] \partial U / \partial z= [/latex] 0 ist, so ist die 3 -Komponente des Impulses eine Erhaltungsgröße, [latex] d p_{3} / d t=0 ; [/latex] wenn [latex] \partial U / \partial \varphi=0 [/latex] ist, so ist die 3 -Komponente des Drehimpulses eine Erhaltungsgröße, [latex] d L_{3} / d t=0 [/latex] https://www.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/a7b2f26231a6245cd2769132cc050a1e.PNG [b]Meine Ideen:[/b] Problem/Ansatz: Bei solchen Aufgaben, wo man teilweise mit Gegenbeispielen Aussagen zeigen / widerlegen kann, scheiter ich immer. Ideen für Lösungen oder Beispiele wären toll. Mfg Henning[/quote]
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henning.u
Verfasst am: 05. Dez 2020 09:24
Titel:
Super, danke für den Tipp!
Myon
Verfasst am: 04. Dez 2020 00:32
Titel:
Zu a) Ich glaube, Du hast die falsche Seite aus dem Skript gepostet. Gemeint ist wohl der Zusammenhang
etc.
Zum Gradienten von U in Zylinderkoordinaten: Du kannst zuerst die Koordinaten des Gradienten bezüglich der kartesischen Basis
ausdrücken durch
und
.
Für die erste Koordinate z.B.:
Analog für
.
Um nun die Koordinaten des Gradienten bezüglich der Zylinderbasis zu erhalten, kann
jeweils skalar multipliziert werden mit
, also z.B.
Zu b) Die erste Behauptung folgt einfach aus
und
.
Die zweite Behauptung folgt praktisch analog aus
(ausrechnen, dass
).
henning.u
Verfasst am: 03. Dez 2020 19:13
Titel: Gradienten und Potential von Zylinderkoordinaten
Meine Frage:
Aufgabe:
Ein Potential sei in Zylinderkoordinaten gegeben,
.
(a) Stellen Sie den Gradienten von
in der Zylinderkoordinatenbasis
dar, wobei die Koeffizienten durch die partiellen Ableitungen
und
auszudrücken sind. Der Zusammenhang zwischen der Zylinderkoordinatenbasis und den kartesischen Basisvektoren
ist aus der Vorlesung bekannt, siehe im Skript unten.
(b) Zeigen Sie, dass bei der Bewegung in diesem Potential Folgendes gilt: Wenn
0 ist, so ist die 3 -Komponente des Impulses eine Erhaltungsgröße,
wenn
ist, so ist die 3 -Komponente des Drehimpulses eine Erhaltungsgröße,
https://www.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/a7b2f26231a6245cd2769132cc050a1e.PNG
Meine Ideen:
Problem/Ansatz: Bei solchen Aufgaben, wo man teilweise mit Gegenbeispielen Aussagen zeigen / widerlegen kann, scheiter ich immer. Ideen für Lösungen oder Beispiele wären toll.
Mfg
Henning