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[quote="Qubit"]Hierbei handelt es sich wohl um die sogenannte Dezimalbruchdarstellung. Um die Anordnung der insbesondere positiven irrationalen Zahlen (auf der reellen Zahlengeraden) kleiner 10 abzubilden, kann man das 10er Stellenwertsystem nutzen (ganze Beiträge > 10 sind abgetrennt): [latex](*) \; \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}, \; a_k \in \{0,..,9\}[/latex] (Hierbei kann es sich aber auch um ein anderes Zahlensystem, zB. binäres, handeln) Die positiven rationalen Zahlen kleiner 10 sind hierbei auch abgebildet (als endliche Entwicklung oder periodischer Dezimalbruch). Die Ordnungsrelation zweier so dargestellter reeller Zahlen a < b drückt sich nun darin aus, dass ein Index i existiert, mit: [latex]a_i < b_i, \; a_j=b_j \; \text{für} \; j<i[/latex] Die allgemeine Existenz von (*) erfordert eine besondere Begründung, z.B. durch Dedekindsche Schnitte in der (dichten) Menge der rationalen Zahlen. Für Physiker spielen in der Praxis eher endliche Darstellungen eine Rolle (inkl. Fehlerbetrachtungen). Ein wesentlicher Teil der Experimentierkunst besteht allein darin, Einflüsse auf diese endlichen Darstellungen zu minimieren/beseitigen, so dass verwendete theoretische Modelle zutreffen. Um zB. den freien Fall auf der Erde zu beschreiben, hängt es auch davon ab, wie genau man misst bzw. welche Ordnung der Einfluss der Erdrotation hat (Intertial-Nichtinertialsystem).[/quote]
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Gerry
Verfasst am: 17. Okt 2020 19:31
Titel:
Danke !
index_razor
Verfasst am: 17. Okt 2020 18:16
Titel:
Es gibt einen Index i, nämlich i = 0, mit
. Und es gibt
keinen
Index
, für den
nicht
gilt. Das ist genau die Bedingung.
P.S.
Gerry
Verfasst am: 17. Okt 2020 18:09
Titel:
warum trifft die Aussage zu ! Das ist etwas erklärungsbedürftig...
Myon
Verfasst am: 16. Okt 2020 09:11
Titel:
In dem Fall gibt es kein
. Aber das ist ja kein Problem. Die Aussage „Es existiert ein
mit
und
für alle
“ trifft zu. Das „
“ habe ich absichtlich zur Verdeutlichung geschrieben, wenn „Index“ steht, wäre es je nach dem nicht nötig.
Gerry
Verfasst am: 16. Okt 2020 07:26
Titel:
..und was ist dann mit a(j) und b(j) ? Genau das war ja meine Frage !
Myon
Verfasst am: 15. Okt 2020 21:53
Titel:
Gerry hat Folgendes geschrieben:
also muß es heißen j Element aus N(0), i Element aus N
Weshalb? Für a=2, b=3 ist
.
Gerry
Verfasst am: 15. Okt 2020 20:40
Titel:
Bei Index i=1 wäre Index j=o < Index i=1; also muß es heißen j Element aus N(0), i Element aus N
Myon
Verfasst am: 12. Okt 2020 16:44
Titel:
Gerry hat Folgendes geschrieben:
Für i Element aus N gilt das - ( siehe meine Frage oben )
Die Aussage muss für ein
bzw. alle
erfüllt sein, dann tritt das Problem nicht auf.
Gerry
Verfasst am: 12. Okt 2020 16:02
Titel:
Für i Element aus N gilt das - ( siehe meine Frage oben )
Qubit
Verfasst am: 10. Okt 2020 06:53
Titel:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Gerry hat Folgendes geschrieben:
Kürzlich bin ich über eine Definition zu den Reellen Zahlen gestolpert - und zwar die Kleiner-Beziehung:
a(0), a(1) a(2) a(3) .... < b(0), b(1) b(2) b(3) ....falls ein Index i existiert mit a(i)< b(i) und
a(j) = b(j) für alle j < i
Da stimmt doch was nicht. Danach wäre
.
Das ist ein berechtigter Hinweis. Beim Thema Dezimalbruchentwicklung sollte auch besprochen worden sein, dass nichteindeutige Darstellungen existieren wie bei der Neunerperiode (im Dezimalsystem). In diesem Falle sind für den Größenvergleich von Dezimalbrüchen die endlichen Darstellungen zu verwenden, zB:
index_razor
Verfasst am: 09. Okt 2020 19:50
Titel: Re: Definition Reelle Zahlen
Gerry hat Folgendes geschrieben:
Kürzlich bin ich über eine Definition zu den Reellen Zahlen gestolpert - und zwar die Kleiner-Beziehung:
a(0), a(1) a(2) a(3) .... < b(0), b(1) b(2) b(3) ....falls ein Index i existiert mit a(i)< b(i) und
a(j) = b(j) für alle j < i
Da stimmt doch was nicht. Danach wäre
.
TomS
Verfasst am: 09. Okt 2020 06:33
Titel:
Da war ich wohl mit Blindheit geschlagen ...
Qubit
Verfasst am: 09. Okt 2020 06:30
Titel:
Hierbei handelt es sich wohl um die sogenannte Dezimalbruchdarstellung.
Um die Anordnung der insbesondere positiven irrationalen Zahlen (auf der reellen Zahlengeraden) kleiner 10 abzubilden, kann man das 10er Stellenwertsystem nutzen (ganze Beiträge > 10 sind abgetrennt):
(Hierbei kann es sich aber auch um ein anderes Zahlensystem, zB. binäres, handeln)
Die positiven rationalen Zahlen kleiner 10 sind hierbei auch abgebildet (als endliche Entwicklung oder periodischer Dezimalbruch).
Die Ordnungsrelation zweier so dargestellter reeller Zahlen a < b drückt sich nun darin aus, dass ein Index i existiert, mit:
Die allgemeine Existenz von (*) erfordert eine besondere Begründung, z.B. durch Dedekindsche Schnitte in der (dichten) Menge der rationalen Zahlen.
Für Physiker spielen in der Praxis eher endliche Darstellungen eine Rolle (inkl. Fehlerbetrachtungen). Ein wesentlicher Teil der Experimentierkunst besteht allein darin, Einflüsse auf diese endlichen Darstellungen zu minimieren/beseitigen, so dass verwendete theoretische Modelle zutreffen.
Um zB. den freien Fall auf der Erde zu beschreiben, hängt es auch davon ab, wie genau man misst bzw. welche Ordnung der Einfluss der Erdrotation hat (Intertial-Nichtinertialsystem).
TomS
Verfasst am: 08. Okt 2020 22:33
Titel: Re: Definition Reelle Zahlen
Soll das eine Intervallschaltung sein?
Gerry hat Folgendes geschrieben:
a(0), a(1) a(2) a(3) .... < b(0), b(1) b(2) b(3) ....falls ein Index i existiert mit a(i)< b(i) und
a(j) = b(j) für alle j < i
Die funktioniert jedoch anders:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Intervallschachtelung
Hast du eine Referenz für deine Vorgehensweise?
Gerry
Verfasst am: 08. Okt 2020 20:51
Titel: Definition Reelle Zahlen
Kürzlich bin ich über eine Definition zu den Reellen Zahlen gestolpert - und zwar die Kleiner-Beziehung:
a(0), a(1) a(2) a(3) .... < b(0), b(1) b(2) b(3) ....falls ein Index i existiert mit a(i)< b(i) und
a(j) = b(j) für alle j < i
Was aber wenn schon a(0) < b(0) ist ?? z.B. Wurzel 2 < Wurzel 5 !