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[quote="Mark_anfaenger"][b]Meine Frage:[/b] Guten Abend zusammen, Im Folgenden sei diese Transformation gegeben: [latex]Q_1 = q_1; \hspace{0.5cm} Q_2=p_2; \hspace{0.5cm} P_1=p_1-2p_2; \hspace{0.5cm} P_2 = -2q_1-q_2[/latex]. Die Aufgabe besteht aus mehreren Teilen, wobei es in einem ersten Schritt darum ging zu zeigen, dass die kanonischen Poisson-Klammern in den neuen Koordinaten die erwartete Form haben. Danach musste man zeigen, dass [latex]A^T\varepsilon A = \varepsilon[/latex] gitl, wobei [latex]A[/latex] die Jacobi-Matrix der Transformation ist und [latex]\varepsilon[/latex] die symplektische Struktur bezeichnet. Das hat soweit alles funktioniert, aber beim letzten Aufgabenteil stosse ich leider an meine Grenzen: Man soll zeigen, dass die symplektische Form [latex]\sum_i {\rm{d}}Q_i\wedge{\rm{d}}P_i[/latex] invariant ist. [b]Meine Ideen:[/b] Ich bin nicht besonders bewandert im Umgang mit Differentialformen (was konkret heisst, ich hatte eine einstündige Einführung dazu wo ein paar Definitionen an die Tafel geschrieben wurden), von daher wäre etwas Aufklärung bzgl. Interpretation von dem was ich hier mache wünschenswert. [latex]{\rm {d}}Q_1 ={\rm{d}}q_1;\hspace{0.5cm}{\rm{d}}P_1={\rm{d}}p_1-2{\rm{d}}p_2;\hspace{0.5cm} {\rm{d}}Q_2={\rm{d}}p_2;\hspace{0.5cm}{\rm{d}}P_2= -2{\rm{d}}q_1-{\rm{d}}q_2 [/latex]. Falls das stimmt müsste dann also: [latex]\sum\limits_i {\rm{d}}Q_i \wedge {\rm{d}}P_i={\rm{d}}q_1\wedge ({\rm{d}}p_1-2{\rm{d}}p_2) + {\rm{d}}p_2 \wedge (-2{\rm{d}}q_1-{\rm{d}}q_2) \\ ={\rm{d}}q_1\wedge {\rm{d}}p_1+ {\rm{d}}q_1\wedge (-2){\rm{d}}p_2 + \underbrace{{\rm{d}}p_2\wedge (-2){\rm{d}}q_1}_{=(-1)(-2){\rm{d}}q_1\wedge {\rm{d}}p_2} \underbrace{- {\rm{d}}p_2\wedge {\rm{d}}q_2}_{={\rm{d}}q_2\wedge{\rm{d}}p_2}\\ = {\rm{d}}q_1\wedge {\rm{d}}p_1+{\rm{d}}q_2\wedge {\rm{d}}p_2[/latex] gelten, wobei ich hier einfach mal davon augegangen bin, dass es sich bei allen vier Differentialformen um [latex]1[/latex]-Formen handelt. Was ich damit aber nun anfangen soll verstehe ich leider nicht... Das ganze Thema ist mir momentan noch etwas rätselhaft... Es wäre also schön wenn mir hier jemand konkret weiterhelfen könnte Gruss Mark[/quote]
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Nachricht
index_razor
Verfasst am: 03. Dez 2017 14:52
Titel: Re: Kanonische Transformation mit Differentialformen
Mark_anfaenger hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Guten Abend zusammen,
Im Folgenden sei diese Transformation gegeben:
.
Die Aufgabe besteht aus mehreren Teilen, wobei es in einem ersten Schritt darum ging zu zeigen, dass die kanonischen Poisson-Klammern in den neuen Koordinaten die erwartete Form haben. Danach musste man zeigen, dass
gitl, wobei
die Jacobi-Matrix der Transformation ist und
die symplektische Struktur bezeichnet. Das hat soweit alles funktioniert, aber beim letzten Aufgabenteil stosse ich leider an meine Grenzen:
Man soll zeigen, dass die symplektische Form
invariant ist.
Das scheint mir im wesentlichen eine Umformulierung der Aussage
zu sein, die du bereits gezeigt hast. Bei
handelt es sich ja vermutlich um die Matrix, deren Einträge gerade die Poisson-Klammern
der Phasenraumkoordinaten sind. Anders ausgedrückt, handelt es sich um die
Koeffizientenmatrix
der symplektischen Form
, d.h.
.
Die Form
ist eine nichtentartete, geschlossene 2-Form, die sich also bzgl. der Koordinaten
in der Form
schreiben läßt. Man muß hier aufpassen, wie man die auftretenden Summen ausführt: In der ersten ist
, wobei
die Dimension des Konfigurationsraums ist. In der zweiten, wo
und
gemischt auftreten, werden beide Indizes unabhängig bis N summiert. Dasselbe Schema wiederholt sich in den restlichen Termen, wo die Rollen von
und
vertauscht sind. Am einfachsten ist es deshalb für Orts- und Impulskoordinaten einen gemeinsamen Bezeichner zu verwenden, z.B. so
Dann lautet die Darstellung der symplektischen Form
wobei man in der letzten Summe
setzen muß. Eine
kanonische Transformation
ist nichts anderes als eine Abbildung
, die
invariant läßt. Dies bedeutet
Koeffizientenvergleich liefert genau die Bedingung
für die Invarianz mit
Im folgenden Teil der Aufgabe wird nun die spezielle Form
der symplektischen Form vorausgesetzt. Das bedeutet aber nichts anderes, als daß es sich bei q und p um
kanonische Koordinaten
handelt, d.h. die Koeffizientenmatrix hat die spezielle Form
Wegen der allgemeinen Invarianzbedingung liefert eine kanonische Transformation von kanonischen Koordinaten wiederum kanonische Koordinaten, d.h. dieselbe Form von
und damit
Das hast du mit deiner Rechnung:
Zitat:
Falls das stimmt müsste dann also:
nochmal explizit gezeigt. Obwohl man es m.E. im Prinzip auch aus den Lösungen der vorigen Aufgaben hätte schließen können.
Mark_anfaenger
Verfasst am: 02. Dez 2017 20:00
Titel: Kanonische Transformation mit Differentialformen
Meine Frage:
Guten Abend zusammen,
Im Folgenden sei diese Transformation gegeben:
.
Die Aufgabe besteht aus mehreren Teilen, wobei es in einem ersten Schritt darum ging zu zeigen, dass die kanonischen Poisson-Klammern in den neuen Koordinaten die erwartete Form haben. Danach musste man zeigen, dass
gitl, wobei
die Jacobi-Matrix der Transformation ist und
die symplektische Struktur bezeichnet. Das hat soweit alles funktioniert, aber beim letzten Aufgabenteil stosse ich leider an meine Grenzen:
Man soll zeigen, dass die symplektische Form
invariant ist.
Meine Ideen:
Ich bin nicht besonders bewandert im Umgang mit Differentialformen (was konkret heisst, ich hatte eine einstündige Einführung dazu wo ein paar Definitionen an die Tafel geschrieben wurden), von daher wäre etwas Aufklärung bzgl. Interpretation von dem was ich hier mache wünschenswert.
.
Falls das stimmt müsste dann also:
gelten, wobei ich hier einfach mal davon augegangen bin, dass es sich bei allen vier Differentialformen um
-Formen handelt.
Was ich damit aber nun anfangen soll verstehe ich leider nicht... Das ganze Thema ist mir momentan noch etwas rätselhaft... Es wäre also schön wenn mir hier jemand konkret weiterhelfen könnte
Gruss Mark