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[quote="freddy90000"][b]Meine Frage:[/b] Ich versuche eine Aufgabenstellung aus dem Buch "Nonlinear Dynamics and Chaos" von Strogatz zu bearbeiten. Darin heißt es: Here's another way to determine the radius of the nearly circular limit cycle of the van der pol oscillator [latex] \ddot{x}+ \epsilon \dot{x} (x^2-1)+ x =0,[/latex] in the limit [latex] \epsilon \ll 1[/latex]. Assume that the limit cycle is a circle of unknown radius [latex]a[/latex] about the origin, and invoke the normal form of Green's theorem (i.e., the 2-D divergence theorem): [latex] \oint _C \vec{v} \cdot \vec{n} \, ds = \iint_A \nabla \cdot \vec{v} \, dA [/latex] where [latex]C[/latex] is the cycle and [latex]A[/latex] is the region enclosed. By substituting [latex] \vec{v}=\dot{\vec{x}}=(\dot{x},\dot{y})[/latex] and evaluating the integrals, show that [latex] a\approx 2 .[/latex] [b]Meine Ideen:[/b] 1. Die gegebene Differentialgleichung in ein DGL-System überführen: [latex] \dot{x}=y, \quad \dot{y}= -\epsilon y (x^2-1) -x [/latex] 2. Einsetzen Kurvenintegral. Es gilt: [latex] \vec{n} \, ds = (dy, -dx) .[/latex] Das Kurvenintegral sollte somit vorerst so aussehen: [latex] \oint_C( y \, dy + \epsilon y (x^2-1) + x \, dx ) .[/latex] Mit der Parametrisierung [latex]\vec{\gamma} = (\gamma_x, \gamma_y) = (a \cos \phi, a \sin \phi ) [/latex] erhalte ich [latex] \oint_C y \, dy = \int_0^{2\pi} a^2 \sin \phi \cos \phi \, d\phi=0[/latex] und [latex] \oint_C \epsilon y (x^2-1) + x \, dx =\int_0^{2\pi} (\epsilon a \sin \phi ( a^2 \cos^2 \phi-1 ) + a\cos \phi)(-\sin\phi) \, d\phi = -{1\over4} a^2 (-4+a^2 ) \pi \epsilon .[/latex] [color=darkred]Dieses Integral muss jedoch null sein, da [latex]C [/latex] ein Grenzzyklus ist und somit stets [latex]\dot{\vec{x}} \bot \vec{n} [/latex] gelten muss. Also folgt a=2.[/color] 3. Einsetzen Flächenintegral. Hier habe ich vorerst [latex] \iint_A - \epsilon (x^2-1) \, dA. [/latex] Das transformiere ich in Polarkoordinaten [latex](r,\phi) [/latex] und erhalte [latex] \int_0^{2\pi} \int_0^a -\epsilon (r^2 \cos ^2 \phi-1 ) r \, dr \, d\phi = -{1\over 4} a^2(-4+a^2)\pi \epsilon.[/latex] Auch hier muss null herauskommen, also wieder [latex] a=2. [/latex] War's das jetzt? Ich habe das Gefühl, die Methode hinkt, da man erst einen Grenzzyklus voraussetzen muss, um dann eine Aussage darüber zu treffen, welche Amplitude er hat. Was ist, wenn es keinen Grenzzyklus gibt?[/quote]
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franz
Verfasst am: 18. Feb 2017 21:43
Titel:
Nur ein Hinweis
F. K. Kneubühl (Lineare und nichtlineare Schwingungen und Wellen, B.G.Teubner 1995) beschäftigt sich ausführlich mit diesem Oszillator. Seine Argumentation zum Grenzzyklus (die ich nicht beurteilen kann): "Diese Gleichung ist eine Liénard-Gleichung [...] mit den Koeffizienten S(x) = epsilon (1 - x²) und D(x) = 1. Somit erfüllt sie die Voraussetzungen [...] des Theorems von Levinson und Smith und besitzt einen Grenzzyklus für alle epsilon > 0." (Die Verweise gehen auf nichtlineare Liénard-Oszillatoren im Buch.)
Bauchmäßig scheint es mir bei dieser amplitudenabhängigen "Dämpfung" auch plausibel: Kleine Amplitude - Verstärkung, große: Dämpfung.
freddy90000
Verfasst am: 18. Feb 2017 11:56
Titel: Amplitude des van der Pol Oszillators mittels Green's Theore
Meine Frage:
Ich versuche eine Aufgabenstellung aus dem Buch "Nonlinear Dynamics and Chaos" von Strogatz zu bearbeiten.
Darin heißt es:
Here's another way to determine the radius of the nearly circular limit cycle of the van der pol oscillator
in the limit
. Assume that the limit cycle is a circle of unknown radius
about the origin, and invoke the normal form of Green's theorem (i.e., the 2-D divergence theorem):
where
is the cycle and
is the region enclosed. By substituting
and evaluating the integrals, show that
Meine Ideen:
1. Die gegebene Differentialgleichung in ein DGL-System überführen:
2. Einsetzen Kurvenintegral. Es gilt:
Das Kurvenintegral sollte somit vorerst so aussehen:
Mit der Parametrisierung
erhalte ich
und
Dieses Integral muss jedoch null sein, da
ein Grenzzyklus ist und somit stets
gelten muss. Also folgt a=2.
3. Einsetzen Flächenintegral. Hier habe ich vorerst
Das transformiere ich in Polarkoordinaten
und erhalte
Auch hier muss null herauskommen, also wieder
War's das jetzt? Ich habe das Gefühl, die Methode hinkt, da man erst einen Grenzzyklus voraussetzen muss, um dann eine Aussage darüber zu treffen, welche Amplitude er hat. Was ist, wenn es keinen Grenzzyklus gibt?