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[quote="Heisenberg93"]Hallo, wir haben vor kurzem in der Vorlesung über den "Lagrange II Formalismus" gesprochen. Jetzt habe ich ein paar Übungsaufgaben dazu gemacht und komme bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter. Aufgabe: Zeigen Sie: für ein System mit n Zwängen [latex]G_i (\vec{q},\dot{\vec{q}})=0[/latex] sind die Bewegungsgleichungen die Lagrangegleichungen II Art mit einer Lagrangefunktion [latex]L + s_i G_i[/latex]. Die [latex]s_i[/latex] sind Zahlen und es gilt die Summenkonvention Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen[/quote]
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Autor
Nachricht
TomS
Verfasst am: 26. Sep 2016 11:00
Titel:
Die Frage ist weiterhin, wie du eine Aufgabe "
Zeigen Sie ...
" gelöst werden soll, wenn keine Basis bzw. kein Kontext für den geforderten Beweis gegeben ist.
Anyway: der Ansatz funktioniert über sogenannte Lagrange-Multiplikatoren; das sind die s_i in deiner Angabe. Die Zwangsbedingungen werden repräsentiert durch die die G_i.
Dabei sind jedoch implizit Einschränkungen bzgl. der möglichen Zwangsbedingungen enthalten:.
Z.B. ist die Zwangsbedingungen, dass sich ein Teilchen auf einer bestimmten Oberfläche im 3-dim. bewegen soll, explizit möglich; gegeben sei eine Darstellung der Oberfläche
konkret z.B. für die Kugeloberfläche:
für
Dabei handelt es sich um eine sogenannte
holonome Zwangsbedingung
.
Offensichtlich
nicht
ohne weiteres möglich ist die Bedingung, dass sich das Teilchen
innerhalb
dieser Oberfläche im 3-dim. bewegen soll; d.h.
Dabei handelt es sich um eine sogenannte
anholonome Zwangsbedingung
.
Mit Beschränkung auf holonome Zwangsbedingungen gilt folgendes:
Gegeben sei eine Lagrangefunktion
Damit folgen die Bewegungsgleichungen
Nun erweitert man die Lagrangefunktion um die Zwangsbedingungen G_i, multipliziert mit den Lagrangemultikatoren s_i:
Die neuen Bewegungsgleichungen folgen aus
Zusätzlich betrachtet man die Lagrangemultiplikatioren als
unabhängige
Varaiablen, jedoch ohne eigene Dynamik = ohne Zeitableitung (es tritt kein Punkt auf)
Damit erhält man deren Euler-Lagrange-Gleichungen zu
D.h. die Euler-Lagrange-Gleichungen der Lagrangemultiplikatioren reproduzieren die Zwangsbedingungen.
Dieses erweiterte Systen von Euler-Lagrange-Gleichungen kodiert das Verhalten des Teilchens - zunächst beschrieben mittels L - erweitert um Zwangsbedingungen G_i.
Heisenberg93
Verfasst am: 26. Sep 2016 09:40
Titel:
Hat niemand eine Idee?
Die Lagrange Fkt. ist definiert als L=T-V
Wie soll ich da jetzt die Zwänge mit reinkriegen?
Heisenberg93
Verfasst am: 24. Sep 2016 17:26
Titel:
Mehr steht da nicht. Hmm
schnudl
Verfasst am: 24. Sep 2016 10:13
Titel:
Und wovon sollst du ausgehen? Vom D'Alembert'schen Prinzip?
Heisenberg93
Verfasst am: 24. Sep 2016 09:56
Titel: Lagrange Mechanik
Hallo,
wir haben vor kurzem in der Vorlesung über den "Lagrange II Formalismus" gesprochen. Jetzt habe ich ein paar Übungsaufgaben dazu gemacht und komme bei einer Aufgabe überhaupt nicht weiter.
Aufgabe:
Zeigen Sie: für ein System mit n Zwängen
sind die Bewegungsgleichungen die Lagrangegleichungen II Art mit einer Lagrangefunktion
. Die
sind Zahlen und es gilt die Summenkonvention
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen