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[quote="Physiker1910"][b]Meine Frage:[/b] Hallo die Aufgabe lautet : Die Gleichung x^2 + 4y^2 = z^2 beschreibt eine Fläche im R^3. a) Beschreiben Sie, wie diese Fläche aussieht (Hinweis: Betrachten Sie die durch die Gleichung definierten Linien bei konstanten Werten der z-Koordinate). b) Berechnen Sie einen Vektor, der im Punkt (x0; y0; z0) = (3; 2; 5) senkrecht auf diese Fläche steht. (Hinweis: Die Gleichung der Fläche kann als Niveau Fläche f(x; y; z) = 0 einer stetig differenzierbaren Funktion f interpretiert werden.) c) Geben Sie die Parametergleichung einer Geraden an, die im Punkt (3; 2; 5) senkrecht auf die Fläche ist. Geben Sie die Gleichung einer Ebene an, die im Punkt (3; 2; 5) tangential an die gegebene Fläche ist. (Hinweis: Sei n ein Normalenvektor und x0 ein Punkt der Ebene. Dann ist die Ebene die Menge aller Punkte x, für die x -x0 senkrecht auf n ist.) [b]Meine Ideen:[/b] zu a) Ich würde sagen dass ist eine Art Sanduhr bzw 2 Entegengesetzte Kegel die ihre spitzen im Ursprung haben der eine ist dann nach oben und der andere nach unten geöffnet . denn wenn man die Gleichung nach z Umstellt ergibt sich + oder - Wurzel(x^2+4y^2) . Und weil y^2 noch den faktor 4 hat sollte das ein elliptischer Kegel sein stimmt das ? zu b ) das könnte der gradient von f sein ausgewertet an dem Punkt P mit f(x,y,z)= x^2+4y^2-z^2 also:[latex] grad(f)=\begin{pmatrix} 2x\\ 8y \\ -2z\end{pmatrix} [/latex] [latex] grad(P)=\begin{pmatrix} 6\\ 16\\ -10\end{pmatrix} [/latex] bei c) Eine gerade hat die gleichung : [latex] \vec{x} = \vec{a} +t*\vec{b} [/latex] wobei a ein Punkt und b ein richtungsvektor sien soll . Wenn die Gerade nun senkrecht auf einen Punkt stehen soll . Dann heißt das der Punkt (3,2,5) = a und der richtungsvektor b ist der Gradient an diesem Punkt, also [latex] \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} 6 \\ 16\\ -10\end{pmatrix} [/latex] Eine tangentialebene hat die Formel [latex] z-z0=\frac{\partial f}{\partial x} (x0,y0)* (x-x0) +\frac{\partial f}{\partial y}(x0,y0)*(y-y0) [/latex] Mein ergebniss ist dann : [latex]50=6x+16y-5z [/latex] was sagt ihr hierzu,stimmen meine Überlegungen bzw Ergebnisse?[/quote]
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Jayk
Verfasst am: 19. Jun 2016 23:11
Titel:
Sieht gut aus!
Physiker1910
Verfasst am: 18. Jun 2016 20:33
Titel: Fläche und Tangentialebene
Meine Frage:
Hallo die Aufgabe lautet :
Die Gleichung
x^2 + 4y^2 = z^2
beschreibt eine Fläche im R^3.
a) Beschreiben Sie, wie diese Fläche aussieht (Hinweis: Betrachten Sie die durch die
Gleichung definierten Linien bei konstanten Werten der z-Koordinate).
b) Berechnen Sie einen Vektor, der im Punkt (x0; y0; z0) = (3; 2; 5) senkrecht auf diese
Fläche steht. (Hinweis: Die Gleichung der Fläche kann als Niveau
Fläche f(x; y; z) = 0
einer stetig differenzierbaren Funktion f interpretiert werden.)
c) Geben Sie die Parametergleichung einer Geraden an, die im Punkt (3; 2; 5) senkrecht auf
die Fläche ist. Geben Sie die Gleichung einer Ebene an, die im Punkt (3; 2; 5) tangential
an die gegebene Fläche ist. (Hinweis: Sei n ein Normalenvektor und x0 ein Punkt der
Ebene. Dann ist die Ebene die Menge aller Punkte x, für die x -x0 senkrecht auf n ist.)
Meine Ideen:
zu a) Ich würde sagen dass ist eine Art Sanduhr bzw 2 Entegengesetzte Kegel die ihre spitzen im Ursprung haben der eine ist dann nach oben und der andere nach unten geöffnet .
denn wenn man die Gleichung nach z Umstellt ergibt sich + oder - Wurzel(x^2+4y^2) . Und weil y^2 noch den faktor 4 hat sollte das ein elliptischer Kegel sein stimmt das ?
zu b ) das könnte der gradient von f sein ausgewertet an dem Punkt P
mit f(x,y,z)= x^2+4y^2-z^2
also:
bei c)
Eine gerade hat die gleichung :
wobei a ein Punkt und b ein richtungsvektor sien soll .
Wenn die Gerade nun senkrecht auf einen Punkt stehen soll .
Dann heißt das der Punkt (3,2,5) = a und der richtungsvektor b ist der Gradient an diesem Punkt, also
Eine tangentialebene hat die Formel
Mein ergebniss ist dann :
was sagt ihr hierzu,stimmen meine Überlegungen bzw Ergebnisse?