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TomS |
Verfasst am: 31. Mai 2015 00:14 Titel: |
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Widderchen hat Folgendes geschrieben: | Um die Baker-Hausdorff-Formel verwenden zu können, muss [H,A] mit A und mit H kommutieren. |
Nein, das ist nicht richtig, das Theorem gilt auch für nicht-kommutierende Operatoren. Aus der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel folgt für Ausdrücke der o.g. Form das Hadamard-Lemma; hier speziell
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Jannick |
Verfasst am: 30. Mai 2015 22:51 Titel: |
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Widderchen hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
also wenn ich alles richtig gemacht habe, dann sollten die Erwartungswerte für A und B
lauten.
Ich hoffe, dass stimmt soweit!
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Ja das stimmt!
Widderchen hat Folgendes geschrieben: |
Warum ist der erste Erwartungswert unabhängig von t, der zweite allerdings doch?? Offenbar ist dies von der Permutation der orthonormierten Basis durch die Operatoren abhängig!
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Das liegt daran, dass
Observablen, die mit dem Hamiltonoperator kommutieren, sind zeitunabhängig.
Widderchen hat Folgendes geschrieben: |
Zu Aufgabe e): Um die Wahrscheinlichkeiten von Messergebnissen zu erhalten, muss ich doch die Betragsquadrate der Koeffizienten von A Psi(t) und B Psi(t) ermitteln, oder irre ich mich??
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Du irrst dich leider. Um die Wahrscheinlickeiten zu erhalten musst du
bilden. Hierbei ist die Eigenfunktion des Operators A zum Eigenwert |
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Widderchen |
Verfasst am: 30. Mai 2015 22:12 Titel: |
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Hallo,
also wenn ich alles richtig gemacht habe, dann sollten die Erwartungswerte für A und B
lauten.
Ich hoffe, dass stimmt soweit!
Warum ist der erste Erwartungswert unabhängig von t, der zweite allerdings doch?? Offenbar ist dies von der Permutation der orthonormierten Basis durch die Operatoren abhängig!
Zu Aufgabe e): Um die Wahrscheinlichkeiten von Messergebnissen zu erhalten, muss ich doch die Betragsquadrate der Koeffizienten von A Psi(t) und B Psi(t) ermitteln, oder irre ich mich??
Und nochmals vielen Dank für deine Hilfe!! |
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Jannick |
Verfasst am: 30. Mai 2015 21:04 Titel: |
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Ich glaube du hast die Äquivalenz von Matrix und Operatordarstellung noch nicht verstanden. Du kannst entweder alles als Matrizen (für Operatoren) und Vektoren (Zustände) schreiben oder du lässt es halt einfach so stehen wie in Aufgabe 1. Hier kannst du entweden die Zustände als Vektoren schreiben. Dann folgt
Das führt zu
analog
Oder du liest aus der Matrix A wieder die Darstellung wie in Aufgabe 1 aus. Das wäre dann
Beide Wege führen natürlich zum Ziel |
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Widderchen |
Verfasst am: 30. Mai 2015 20:21 Titel: |
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Ja, das habe ich mir auch gedacht. Aber der Erwartungswert lautet trotzdem a^2, das habe ich eben nachgerechnet!
Ich habe eine Frage zu aufgabe 19) d):
Was ist ???
Ich weiß, dass A den zweiten und den dritten Eintrag eines Vektors permutiert. Oder ist das wieder eine Eigenwertgleichung??? |
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Jannick |
Verfasst am: 30. Mai 2015 20:07 Titel: |
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Entschuldige das stimmt auch nicht. Das würde nur stimmen, wenn wie man wie du sagst die Vollständigkeitsrelation benutzen könnte. Das geht allerdings nicht, da nur N und N+1 vorkommen und nicht alle anderen Zustände. Es ist allerdings in dieser Aufgabe so, dass nur N und N+1 eine Rolle spielen und alle anderen unwichtig sind. Deswegen kann man diese Aufgabe im Unterhilbertraum von nur N und N+1 lösen, wo dann die Vollstänigleitsrelation
gelten würde. Im Hilbertraum der Aufgabe gilt allerdings nur
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Widderchen |
Verfasst am: 30. Mai 2015 19:39 Titel: |
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Ok, jetzt habe ich meine Fehler erkannt, den Teil habe ich nun verstanden!
Dass A^2 = a^2 * 1 ist, folgt doch aus der Vollständigkeitsrelation, oder bin ich wieder auf dem Holzweg??
Ich habe A^2 gebildet und erhalte nämlich:
Was mache ich bloß falsch?
Der Erwartungswert sollte a^2 lauten. |
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Jannick |
Verfasst am: 30. Mai 2015 18:13 Titel: |
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Das Standardskalarprodukt der QM ist eine Sesquilinearform d.h. linear im reellen Anteil und semilinear im Komplexen. Das Braket sollte sich wie folgt berechnen
A^2 sollte noch einfacher zu berechnen sein und nicht von der Zeit abhängen, da
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Widderchen |
Verfasst am: 30. Mai 2015 17:32 Titel: |
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Genau diese Funktionen habe ich eingesetzt. Das Skalarprodukt ist doch antilinear bzgl. des ersten Argumentes und linear bzgl. des zweiten Argumentes, oder?? Das heißt, ich muss doch das komplex Konjugierte aller e-Funktionsterme im ersten Argument bilden, um diese aus dem Skalarprodukt herausziehen zu können??
Genau deswegen komme ich nämlich nicht auf ein reellwertiges Ergebnis!
Oder ist dieses Skalarprodukt doch bilinear?? |
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Jannick |
Verfasst am: 30. Mai 2015 17:11 Titel: |
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Das stimmt leider nicht ganz ist aber nahe dran. Erstens sollte dein Ergebnis eine Observable darstellen und muss somit reell sein. Zweitens sollte im Exponenten eine Energiedifferenz auftauchen. Hast du dich vielleicht beim Berechnen von vertan? Es sollte gelten
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Widderchen |
Verfasst am: 30. Mai 2015 16:53 Titel: |
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Hallo,
ich erhalte den Erwartunswert: .
Und für den zweiten Erwartungswert erhalte ich:
.
Viele Grüße
Widderchen |
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Jannick |
Verfasst am: 30. Mai 2015 16:30 Titel: |
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Ich gaube diese Frage kannst du selbst beantworten. Du weißt doch dass gilt:
und
Dann kannst du doch schreiben
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Widderchen |
Verfasst am: 30. Mai 2015 16:13 Titel: |
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Hallo ,
den Zeitentwicklungsoperator hatte ich doch schon bei der Berechnung des Skalarproduktes berücksichtigt, also macht das doch keinen wirklichen Unterschied, ob ich zuerst den Entwicklungsoperator auf Psi(0) anwende und dann den Erwartungswert berechne oder beide Operationen direkt in einem Zug ausführe, oder??
Ok, ich befolge deinen Ansatz: Dann stoße ich unter Verwendung der Exponentialoperator-Definition auf die Gleichungen bzw. . Ist das dann einfach das Produkt aus n-ter Potenz der Energieeigenwerte E_1 bzw. E_2 und der Eigenfunktionen Phi ???
Wenn das so einfach ist, dann habe ich tatsächlich unnötig kompliziert gedacht!!
Frage: Gilt dies dann auch für den Ket-Vektor von Psi(t) ???
Viele Grüße
Widderchen |
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Jannick |
Verfasst am: 30. Mai 2015 15:50 Titel: |
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Deine Ansätze sehen zwar korrekt aus. Ich finde deine Heransgehensweise allerdings unnötig kompliziert. Du kannst doch einfach den Zeitentwicklungsoperator direkt auf deine Wellenfunktion wirken lassen, da sie ja bereits in Hamilton-Eigenfunktionen zerlegt ist. D.h.:
Dann sollte es ein leichtes sein zu berechenen. |
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Widderchen |
Verfasst am: 30. Mai 2015 14:40 Titel: |
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Hallo,
ich hatte den Kommutator bereits ermittelt. Ich bin mir nur nicht sicher, ob das Resultat korrekt ist. Ich erhalte:
Dieser Audruck ist nicht Null, also kommutieren die beiden Operatoren nicht. Um die Baker-Hausdorff-Formel verwenden zu können, muss [H,A] mit A und mit H kommutieren. Ich vermute mal, dass [H,A] mit A kommutiert, da man dies hier geschickt über die Bra-Ket-Notation und mittels Orthogonalität der Eigenfunktionen nachweisen könnte. Dass nun [H,A] mit H selbst kommutiert, muss wohl auch gelten, da ich sonst nicht den Hinweis mit der Baker-Hausdorff erhalten hätte.
Was bedeutet der Ausdruck in der Lieschen Entwicklungsformel, die ich auf der Wikipedia-Seite gefunden habe?
Ok, ich habe einfach die Definition des Entwicklungsoperators angewandt. Dann erhalte ich:
.
Nun habe ich die folgende Komutatorrelation für H^n A eingesetzt:
. Ist das soweit korrekt?
Dann erhalte ich nämlich:
(???) . Dazu habe ich nicht einmal die Hausdorff-formel benötigt.
Viele Grüße
Widderchen |
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TomS |
Verfasst am: 29. Mai 2015 18:22 Titel: |
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Ob A und H kommutieren, kannst du doch selbst berechnen. Des Produkt der drei Operatoren kannst du durch Entwicklung der e-Funktion sowie Zusammenfassung zu iterierten Kommutatoren bestimmen. Ein Tip hierzu ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel. |
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Widderchen |
Verfasst am: 29. Mai 2015 18:06 Titel: |
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Hallo,
kann mir niemand behilflich sein? Ich komme bei den ersten Aufgabenteilen nicht weiter!
Viele Grüße
Widderchen |
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Widderchen |
Verfasst am: 28. Mai 2015 14:09 Titel: Dirac-Notation und Messprozess (Aufgabe 17 und 19) |
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Meine Frage: Hallo,
ich habe zwei Probleme. Dazu habe ich den folgednen Link angefügt. Ich muss die Aufgaben 17 und 19 erledigen. Aufgabe 18 war kein Problem. ;)
http://www.physik.uni-bielefeld.de/~dahm/Files/theorie2/tp2-ss15-07.pdf
Meine Ideen: Zu Aufgabe 17:
Für den ersten Erwartungswert erhalte ich soweit durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators:
Kommutieren der Zeitentwicklungsoperator und A miteinander?? Dann würden beide Zeitentwicklungsoperatoren wegfallen und das Skalarprodukt würde sich ggf. vereinfachen. Allerdings wüsste ich nicht weiter, falls beide Operatoren nicht miteinander kommutieren würden.
Zu Aufgabe 19):
a) Hier weiß ich nicht, wie ich die Wahrscheinlichkeiten für die Messergebnisse ermitteln soll. Hängt das irgendwie mit dem Betragsquadrat der Koeffizienten von zusammen??? Erwartungswerrt und Standardabweichung sollte ich berechnen können.
zu b) Wie finde ich heraus, in welchem Zustand sich das System nach der Messung von A befindet??
zu c): Muss ich hier den Zeitentwicklungsoperator auf anwenden? Aber welcher Operator befindet sich dann im Exponenten des Exponentialoperators, A , B oder H ???
Zu den restlichen Aufgabenteilen fällt mir leider überhaupt nichts ein!!
Ich benötige dringend Hilfe!
Viele Grüße Widderchen |
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