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[quote="HBX8X"]Hallo, ich bereite mich auf eine Prüfung vor und bin etwas verwirrt da meine Lösung abweicht von der des Dozenten. Aufgabe: Zeige das u(x.y)=2xy+(y^3)-3x^2 *y harmonisch ist und bestimmen sie eine fkt derart dass durch f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) eine holomorphe funktion definiert wird. Meine Idee: Laplace Operator auf u(x,y) anwenden ergibt Null <-> u( x,y) ist harmonisch -> Integrabilitätsbedingung erfüllt für eine holomorphe fortsetzung. Definiere das Vektorfeld F=(-(du/dy) , du/dx). Bilde nun das Potential davon, denn das ist dann v(x,y): Ergebnis v(x,y)=-3xy^2 + x^3 -x^2 +y^2 ergibt insgesamt u(x,y)+iv(x,y)=f(z). Ist das alles richtig? Musterlösung befindet sich im Anhang. Ich freue mich über jede hilfreiche Antwort.[/quote]
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HBX8X
Verfasst am: 06. Feb 2015 00:56
Titel:
Danke, scheint mit meiner Idee übereinzustimmen!
Jayk
Verfasst am: 05. Feb 2015 21:51
Titel:
Ob die Antwort richtig ist oder nicht, lässt sich ja einfach anhand der Cauchy-Riemann-DGL prüfen:
Soll:
Nachrechnen:
Also
Potential, Integrabilitätsbedingung... sagt mir alles nichts, sorry. Ich würde einfach die Cauchy-Riemann-DGLn (Integrabilitätsbedingung?) aufschreiben und diese lösen (Potential bestimmen?). So wie ich das sehe, ist das ja genau die Idee hinter dem Vektorfeld F.
Im konkreten Fall also
2 x y + y³ - 3x² y
Also
HBX8X
Verfasst am: 05. Feb 2015 21:38
Titel:
Ups, ich glaube ich habe da etwas übersehen. Ich soll nämlich ausgehen von V diesesmal u bestimmen. Jemand eine Idee wie das analog funktioniert?
Edit : Ich habs! Ich muss einfach ein Potential zu (v_y,-v_x) bestimmen oder?
HBX8X
Verfasst am: 05. Feb 2015 21:31
Titel: Harmonische Funktion (Holomorphe Fortsetzung)
Hallo, ich bereite mich auf eine Prüfung vor und bin etwas verwirrt da meine Lösung abweicht von der des Dozenten.
Aufgabe: Zeige das u(x.y)=2xy+(y^3)-3x^2 *y harmonisch ist und bestimmen sie eine fkt derart dass durch f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) eine holomorphe funktion definiert wird.
Meine Idee:
Laplace Operator auf u(x,y) anwenden ergibt Null <-> u( x,y) ist harmonisch -> Integrabilitätsbedingung erfüllt für eine holomorphe fortsetzung. Definiere das Vektorfeld
F=(-(du/dy) , du/dx). Bilde nun das Potential davon, denn das ist dann v(x,y):
Ergebnis v(x,y)=-3xy^2 + x^3 -x^2 +y^2 ergibt insgesamt u(x,y)+iv(x,y)=f(z).
Ist das alles richtig?
Musterlösung befindet sich im Anhang. Ich freue mich über jede hilfreiche Antwort.