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[quote="physstud"]Hallo zusammen, ich bin grad ein wenig am Straucheln.... Und zwar habe ich eine Gleichung, in der ich Teile ersetze gegen Parameter und nachher Taylor-entwickle ich das Ganze in zwei verschiedenen Parametern [latex]\epsilon_1[/latex] und [latex]\epsilon_2[/latex]. Das Ziel ist nachher Terme grösser als [latex]\epsilon_{1,2}^2[/latex] zu vernachlässigen. Nun habe ich allerdings einen Teil der Gleichung in dem eine Ableitung von [latex]\epsilon_1[/latex] vorkommt. Wie kann ich generell solche Ableitungen selbst entwickeln? Das ist mir alles ein wenig schwammig.... Liebe Grüsse, physstud PS: Hier vielleicht mal etwas konkreter mein Problem, es geht um eine Geodätengleichung in ART. Meine Koordinaten sind u.a. [latex]t(\tau)[/latex] und [latex]R(\tau)[/latex], die nun für die Geodäte von der Eigenzeit [latex]\tau[/latex] abhängen. (Ausserdem kommt der Skalenparameter [latex]a(t)[/latex] in meiner Metrik vor, Ableitungen davon seien mit Punkt [latex]\dot{a},\ddot{a}[/latex] gekennzeichnet, Abhängigkeiten unterdrückt.) Ich möchte zeigen, dass gilt [latex] \frac{\ddot{a}}{a} R = \frac{\epsilon_1^2\epsilon_2^2}{R} + \mathcal{O}(\epsilon_{1,2}{}^3)[/latex] Und ich weiss, dass [latex] \frac{\dot{a}}{a} R = \epsilon_1\epsilon_2 [/latex] die zu zeigende Gleichung tritt auf, da ich die Ableitung [latex] \frac{d}{dt}\,\frac{\dot{a}}{a} = \frac{\ddot{a}}{a} - \frac{\dot{a}^2}{a^2}[/latex] in meiner Geodätengleichung habe. Ich muss doch irgendwie zeigen können, dass diese Terme vernachlässigbar sind und eben unter [latex]\mathcal{O}(\epsilon_{1,2}{}^3)[/latex] fallen... (noch ein bisschen mehr Hintergrund: Sei T eine Zeitskala wesentlich kleiner als die Lebenszeit des Universums und daher der Parameter [latex]\epsilon_2 = H T = \frac{\dot{a}}{a} T[/latex] klein. Sei ausserdem die Geschwindigkeit des Objektes (auf der Geodäte) klein und deshalb [latex]\epsilon_1 = v/c = v[/latex] klein, wo die Lichtgeschwindigkeit [latex]c=1[/latex]. Die Zeitskala T von dem Objekt entspricht ungefähr [latex]R/v[/latex]. Deshalb gilt die obige zweite Gleichung mit [latex] HR = \epsilon_1\epsilon_2[/latex] ) *hiiilfe* ;([/quote]
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physstud
Verfasst am: 14. Feb 2013 12:08
Titel:
vielleicht ist diese Frage auch einfach nicht sinnvoll und man muss bei Behandlung sehr kleiner Parameter
einfach deren Ableitungen =0 setzen. Das ist jetzt wohl mein Fluchtweg, es sei denn, jemand hat da eine schöne fundierte Aussage für mich
würde mich über jeden Hinweis freuen!!
physstud
Verfasst am: 14. Feb 2013 10:49
Titel:
Vielleicht in kurz, wie kann ich die linke Seite von
in Ordnungen von
und
ausdrücken?
physstud
Verfasst am: 14. Feb 2013 10:07
Titel: Ableitung von Entwicklungsparameter in Taylorserie
Hallo zusammen,
ich bin grad ein wenig am Straucheln.... Und zwar habe ich eine Gleichung, in der ich Teile ersetze gegen Parameter und nachher Taylor-entwickle ich das Ganze in zwei verschiedenen Parametern
und
. Das Ziel ist nachher Terme grösser als
zu vernachlässigen.
Nun habe ich allerdings einen Teil der Gleichung in dem eine Ableitung von
vorkommt.
Wie kann ich generell solche Ableitungen selbst entwickeln? Das ist mir alles ein wenig schwammig....
Liebe Grüsse,
physstud
PS: Hier vielleicht mal etwas konkreter mein Problem, es geht um eine Geodätengleichung in ART. Meine Koordinaten sind u.a.
und
, die nun für die Geodäte von der Eigenzeit
abhängen. (Ausserdem kommt der Skalenparameter
in meiner Metrik vor, Ableitungen davon seien mit Punkt
gekennzeichnet, Abhängigkeiten unterdrückt.)
Ich möchte zeigen, dass gilt
Und ich weiss, dass
die zu zeigende Gleichung tritt auf, da ich die Ableitung
in meiner Geodätengleichung habe. Ich muss doch irgendwie zeigen können, dass diese Terme vernachlässigbar sind und eben unter
fallen...
(noch ein bisschen mehr Hintergrund: Sei T eine Zeitskala wesentlich kleiner als die Lebenszeit des Universums und daher der Parameter
klein. Sei ausserdem die Geschwindigkeit des Objektes (auf der Geodäte) klein und deshalb
klein, wo die Lichtgeschwindigkeit
. Die Zeitskala T von dem Objekt entspricht ungefähr
. Deshalb gilt die obige zweite Gleichung mit
)
*hiiilfe*