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[quote="int"][quote="Einsteiner"] Der Teil mit der e-Funktionen [latex] e^{\frac {\Theta} {T}} [/latex] geht ja gegen 1. Der Term mit der e-Funktion [latex] (e^{\frac {\Theta} {T}} -1)^{-2} [/latex] im Nenner gegen unendlich und [latex] (\frac{\Theta}{T})^2 [/latex] geht gegen 0. Und das ganze zusammen, müsste ja dann irgendwie 1 ergeben, aber mir fehlt irgendwie das mathematische Handwerkszeug, um das richtig zu zeigen, oder geht das nur numerisch?[/quote] Dass der erste Teil gegen 1 geht ist schon mal richtig, und nach den Grenzwertsätzen kann man ihn deshalb beiseite schieben. Für den Bruch würde ich die Regel von L’Hospital anwenden (ist im Prinzip das gleiche, wie den Grenzwert aus der Taylorentwicklung von Zähler und Nenner abzulesen). Diese Regel kann man anwenden, da Zähler und Nenner gegen 0 gehen.[/quote]
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int
Verfasst am: 27. Dez 2012 21:09
Titel: Re: Einstein Modell Doulong Petit
Einsteiner hat Folgendes geschrieben:
Der Teil mit der e-Funktionen
geht ja gegen 1. Der Term mit der e-Funktion
im Nenner gegen unendlich und
geht gegen 0. Und das ganze zusammen, müsste ja dann irgendwie 1 ergeben, aber mir fehlt irgendwie das mathematische Handwerkszeug, um das richtig zu zeigen, oder geht das nur numerisch?
Dass der erste Teil gegen 1 geht ist schon mal richtig, und nach den Grenzwertsätzen kann man ihn deshalb beiseite schieben.
Für den Bruch würde ich die Regel von L’Hospital anwenden (ist im Prinzip das gleiche, wie den Grenzwert aus der Taylorentwicklung von Zähler und Nenner abzulesen). Diese Regel kann man anwenden, da Zähler und Nenner gegen 0 gehen.
Einsteiner
Verfasst am: 27. Dez 2012 19:24
Titel: Einstein Modell Doulong Petit
Meine Frage:
Hallo,
ich hab folgende Problem. Ich soll zeigen, dass aus dem Einsteinmodell für Phononen folgt, falls man die Temperatur gegen unendlich gehen lässt, dass daraus das Doulong Petit Gesetz folgt. Leider finde ich in sämtlichen Quellen, immer nur das Endergebnis, ich soll aber den Rechenweg zeigen.
Die thermische Energie ist gegeben durch:
Die Wärmekapazität C ist die Ableitung der thermischen Energie nach der Temperatur.
wobei
Meine Ideen:
Meine Idee war das ganze Ungetüm Taylor zu entwickeln, und zwar um die stelle
. Soweit, sogut, nach Matematica haut das auch hin un es kommt heraus
, was ja Doulong Petit ist. Leider verstehe ich nicht so ganz, wie man da nun den Grenzwert bildet. Der Teil mit der e-Funktionen
geht ja gegen 1. Der Term mit der e-Funktion
im Nenner gegen unendlich und
geht gegen 0. Und das ganze zusammen, müsste ja dann irgendwie 1 ergeben, aber mir fehlt irgendwie das mathematische Handwerkszeug, um das richtig zu zeigen, oder geht das nur numerisch?
Die höheren Ordnungen der Taylorreihe müssten natürlich noch verschwinden, aber das wäre dann ja sowieso gegeben, da sie ja mit x in irgendeiner Potenz, je nach Ordnung multipliziert werden.