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[quote="EinGast"]Kann mir jemand anschaulich erklären, was mit dem Begriff der "Ordnung" gemeint ist. Also in folgendem Kontext: Der nichtrelativistische Impuls (p = mv) unterscheidet sich vom relativistischen Impuls ([latex]p = \frac{m v(t)}{\sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}}}[/latex]) nur durch Terme der Ordnung [latex]O(\frac{|v|^2}{c^2})[/latex]. Wie ist das denn genau zu verstehen? Nehmen wir folgendes Biespiel: v = 250.000.000 m/s c = 300.000.000 m/s m = 1 kg Dann ist: [latex]\frac{|v|^2}{c^2} = 0,69444444444444444444444444444444[/latex] [latex]\sqrt {(1-\frac{|v|^2}{c^2})} = 0,55277079839256664151915545611218[/latex] p = 250.000.000 kg * m/s (nichtrelativisitisch) p = 452.267.016,86664543397021810045491 kg * m/s (relativistisch) Was heißt denn jetzt, dass sich diese beiden Impulse um [latex]O(\frac{|v|^2}{c^2}) = O(0,69444444444444444444444444444444)[/latex] unterscheiden? Bei Taylorreihen kann ich diese O-Schreibweise noch einigermaßen nachvollziehen. Immerhin ist die Taylorreihe eine unendliche Summe und wenn ich sie nach dem 3. Glied (z. B.) abbreche, schreibe ich dahinter eben, welche Potenz (Taylorreihe = Potenzreihe) welcher Ordnung als nächstes kommen würde. Aber bei dem hier genannten Beispiel kann ich mir darunter nichts vorstellen.[/quote]
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Autor
Nachricht
TomS
Verfasst am: 23. Feb 2011 20:27
Titel:
Ordnung bedeutet, dass wenn
dann auch
Man kann dann viele Funktionen mittels einer sogenannten Potenzreihe (speziell zur Berechnung derselben: Taylornäherung) darstellen, d.h.
Der Term mit f_0 ist von nullter Ordnung, d.h. x^0, der Term mit f_1 ist von erster Ordnung, d.h. x^1 usw. Wenn man also eine kleine Größe x hat, dann sind Terme, die die n-te Potenz enthaten "von n-ter Ordnung".
In deinem Fall muss man etwas vorsichtig sein. Grundsätzlich ist in der RT die kleine Größe x=v/c, d.h. ein Term (v/c)² ist von zweiter Ordnung. Wenn du aber eine Potenzreihe der Form
hinschreibst, wenn also die kleine Größe x=(v/c)² ist, dann ist der Term g_1 von
erster Ordnung in (v/c)²
bzw. von zweiter Ordnung in (v/c) - klar?
franz
Verfasst am: 23. Feb 2011 20:15
Titel:
Als erste "Ordnungsmaßnahme" würde ich die Zahlengirlanden etwas kürzen.
Dann erinnert es mich an das Vorgehen bei Methode der sukzessiven Näherungen, zumBeispiel bei kleinen anharmonischen Schwingungen.
EinGast
Verfasst am: 23. Feb 2011 19:24
Titel: Begriff der "Ordnung"
Kann mir jemand anschaulich erklären, was mit dem Begriff der "Ordnung" gemeint ist. Also in folgendem Kontext:
Der nichtrelativistische Impuls (p = mv) unterscheidet sich vom relativistischen Impuls (
) nur durch Terme der Ordnung
. Wie ist das denn genau zu verstehen?
Nehmen wir folgendes Biespiel:
v = 250.000.000 m/s
c = 300.000.000 m/s
m = 1 kg
Dann ist:
p = 250.000.000 kg * m/s (nichtrelativisitisch)
p = 452.267.016,86664543397021810045491 kg * m/s (relativistisch)
Was heißt denn jetzt, dass sich diese beiden Impulse um
unterscheiden?
Bei Taylorreihen kann ich diese O-Schreibweise noch einigermaßen nachvollziehen. Immerhin ist die Taylorreihe eine unendliche Summe und wenn ich sie nach dem 3. Glied (z. B.) abbreche, schreibe ich dahinter eben, welche Potenz (Taylorreihe = Potenzreihe) welcher Ordnung als nächstes kommen würde. Aber bei dem hier genannten Beispiel kann ich mir darunter nichts vorstellen.