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[quote="TomS"]Zunächst mal die geschweifte Klammer in LaTeX mittels "\{" und "\}", also [latex]\left\{L_1,x_2\right\}[/latex] Der Ansatz ist zunächst richtig. [latex]\left\{L_1,x_2\right\} = \sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{\partial L_1}{\partial x_i} \frac{\partial x_2}{\partial p_i} - \frac{\partial L_1}{\partial p_i} \frac{\partial x_2}{\partial x_i}\right)[/latex] Nun ist die Ableitung der generalisierten Koordinate nach dem Impuls sicher Null, d.h. [latex]\left\{L_1,x_2\right\} = \sum\limits_{i=1}^n \left(- \frac{\partial L_1}{\partial p_i} \frac{\partial x_2}{\partial x_i}\right)[/latex] Als nächstes schreibt man mittels des Kronecker-Deltas [latex]\frac{\partial x_2}{\partial x_i} = \delta_{i2}[/latex] Nur wenn i=2 ist, ergibt die Ableitung der Koordinate Eins, sonst Null. Jetzt kann man die Summe über i ausführen, es trägt lediglich i=2 bei: [latex]\left\{L_1,x_2\right\} = \sum\limits_{i=1}^n \left(- \frac{\partial L_1}{\partial p_i} \delta_{i2} \right) = - \frac{\partial L_1}{\partial p_2} [/latex] soweit warst du auch schon :-) ----------- Jetzt brauchen wir die Darstellung des Drehimpulses (ich vermute, dass L das sein soll) mittels des Epsilon-Tensors [latex]L_i = \sum_{k,l=1}^3\epsilon_{ikl}\,x_k\,p_l[/latex] In deinem Fall für i=1 gilt [latex]\left\{L_1,x_2\right\} = -\sum_{k,l=1}^3\frac{\partial}{\partial p_2}\epsilon_{1kl}\,x_k\,p_l = -\sum_{k,l=1}^3\epsilon_{1kl}\,x_k\,\delta_{2l} = -\sum_{k=1}^3\epsilon_{1k2}\,x_k[/latex] Nun ist klar, dass aufgrund der Antisymmetrie die einzige nicht-verschwindende Komponente für k=3 vorliegt, d.h. [latex]\left\{L_1,x_2\right\} = -\epsilon_{132}\,x_3 = x_3[/latex][/quote]
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TomS
Verfasst am: 23. Feb 2011 14:41
Titel:
Die Poissonklammern einer Größe A mit der Hamiltonfunktion H ergeben die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen; man interpretiert das so, dass H der Generator der Zeitentwicklung ist. Wenn H nicht explizit von der Zeit abhäng ist, ist insbs. dH/dt=0 und damit die Energie E erhalten.
Genauso kann man andere Größen als Generatoren auffassen. So erzeugt der Impuls P Translation, der Drehimpuls L Rotationen. Wiederum gilt, dass bei Vorliegen einer Symmetrie (Translationsinvarianz, Rotationsinvarianz) die entsprechenden Generatoren P und L Erhaltungsgrößen entsprechen, d.h. dP/dt=0 und dL/dt=0; die kanonischen Bewegungsgleichungen dieser Größen folgen aber wieder aus den Poissonklammern {P,H} und {L,H}. D.h. die Poissonklammern sind die zentralen Objekte bei der Übersetzung von Dynamik, Symmetrien / Invarianzen sowie Erhaltungsgrößen in die Hamiltonsche Formulierung.
Nixda
Verfasst am: 23. Feb 2011 13:49
Titel:
Vielen Dank, zweierlei noch:
Was genau sagt das Ergebnis nun aus? Bzw. wie kommt man auf die 'Idee' (Der Kontext / Nutzen) die Poisson-Klammer von
und
berechnen zu wollen?
Kann man mir vll. noch weitere Beispiele zur Uebung nennen?
TomS
Verfasst am: 23. Feb 2011 07:15
Titel: Re: Klassische Poisson-Klammern berechnen
Nixda hat Folgendes geschrieben:
Gibt es einen besonderen Grund warum mit Kronecker-Delta und Epsilon-Tensor gearbeitet wird?
Der Vorteil ist, dass man damit allgemein recht beliebige Terme darstellen und mit ihnen rechnen kann, ohne doie verschiedenen Regeln für Kreuz- und Skalarprodukte auswendig zu kennen. Außerdem kann man den Epsilon-Tensor sowie das Kronecker-Delta auf höhere Dimensioen verallgemeinern (das Kronecker-Delta hat immer zwei Indizes, der Epsilon-Tensor immer soviele wie man Dimensionen hat).
Nixda
Verfasst am: 23. Feb 2011 02:13
Titel: Re: Klassische Poisson-Klammern berechnen
Vielen, lieben Dank für die ausführliche und schnelle Antwort, das hat mir schon sehr geholfen.
Gibt es einen besonderen Grund warum mit Kronecker-Delta und Epsilon-Tensor gearbeitet wird?
Aus Kreuzprodukt zwischen Ortsvektor
und Impuls
folgt direkt:
,
Und somit, dass:
Bis morgen, gute Nacht.
TomS
Verfasst am: 23. Feb 2011 01:07
Titel: Re: Klassische Poisson-Klammern berechnen
Zunächst mal die geschweifte Klammer in LaTeX mittels "\{" und "\}", also
Der Ansatz ist zunächst richtig.
Nun ist die Ableitung der generalisierten Koordinate nach dem Impuls sicher Null, d.h.
Als nächstes schreibt man mittels des Kronecker-Deltas
Nur wenn i=2 ist, ergibt die Ableitung der Koordinate Eins, sonst Null. Jetzt kann man die Summe über i ausführen, es trägt lediglich i=2 bei:
soweit warst du auch schon :-)
-----------
Jetzt brauchen wir die Darstellung des Drehimpulses (ich vermute, dass L das sein soll) mittels des Epsilon-Tensors
In deinem Fall für i=1 gilt
Nun ist klar, dass aufgrund der Antisymmetrie die einzige nicht-verschwindende Komponente für k=3 vorliegt, d.h.
Nixda
Verfasst am: 23. Feb 2011 00:40
Titel: Klassische Poisson-Klammern berechnen
Servus,
für eine anstehende Klausur muss ich klassische Poisson-Klammern berechnen koennen. Ich möchte gerne folgendes Beispiel mit euch besprechen.
Kann ich davon ausgehen, dass es sich bei
um eine generalisierte Koordinate handelt? Wenn ja, müsste es so weitergehen:
Kann ich nun einfach
setzen? Falls ja, sollte es so aussehen:
Nun wird fast überall ein Faktor 0 und das Ergebnis ist:
Falls das nun alles stimmt, muss oder koennte ich das Ergebnis noch vereinfachen?
Wie lassen sich Poisson-Klammern mittels Epsilon-Tensor und Delta-Distribution berechnen?
Ich bin fuer jede Hilfe dankbar.