Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Mechanik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
[quote="etzwane"]Keinen Fehler gefunden bisher, also fröhlich weiter. Etwas umgeformt zur Integration: [latex]\frac{dh_t}{1 - k\cdot \sqrt{h_t}}=\frac{Q_{zu}}{A} \cdot dt \text{ mit }k=\sqrt{2g}\cdot \frac{A_1}{Q_{zu}}[/latex] Jetzt substituieren z.B.: [latex]k\sqrt{h_t}=u \text{ mit }u^2=k^2h_t \text{ und } 2u \cdot du=k^2 \cdot dh_t \text{ und }u_0=0 \text{ für }h_0=0 \text{ bei }t_0=0[/latex] ergibt [latex]\frac{2}{k^2}\frac{u}{1-u}du=\frac{Q_{zu}}{A} \cdot dt[/latex], und integriert: [latex][t]^t_{t_0} = [\frac{2}{k^2}\frac{A}{Q_{zu}}(-u-ln(1-u))]^u_{u_0}= \frac{2}{k^2}\frac{A}{Q_{zu}}(-u-ln(1-u))[/latex] und mit der Substitution zurück [latex]u=k\sqrt{h_t}[/latex]: [latex]t = \frac{2}{k^2}\frac{A}{Q_{zu}}(-k\sqrt{h_t}-ln(1-k\sqrt{h_t}))[/latex] Damit die Zeit positiv (>0) wird, muss [latex]ln(1-k\sqrt{h_t}) > k\sqrt{h_t} > 0 \text{ sein sowie } k\sqrt{h_t} < 1[/latex], was wegen [latex]k\sqrt{h_t}=\frac{Q_{ab}}{Q_{zu}}[/latex] auch gegeben ist. Mit [latex]k=\sqrt{2g}\cdot \frac{A_1}{Q_{zu}}[/latex] erhält man also letztendlich für die Füllzeit als Funktion des Wasserstandes im Rohr [latex]t=\frac{AQ_{zu}}{gA_1^2}(-ln(1-\frac{A_1}{Q_{zu}}\sqrt{2gh_t})-\frac{A_1}{Q_{zu}}\sqrt{2gh_t})[/latex] Kleine Kontrolle für die Füllzeit ohne Abflussbohrung, also mit [latex]A_1=0[/latex]: Mit [latex]-ln(1-x)-x = x+x^2/2+x^3/3+... -x = x^2/2+x^3/3+...[/latex] für kleine x nahe 0 folgt [latex]t_{A_1=0}=\frac{AQ_{zu}}{gA_1^2}(\frac{A_1^2}{Q_{zu}^2}\cdot 2gh_t /2)=\frac{A\cdot h_t}{Q_{zu}}[/latex] = Volumen des Rohres geteilt durch die Zuflussmenge, das passt also schon mal.[/quote]
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
Autor
Nachricht
Gast
Verfasst am: 17. März 2005 18:02
Titel:
Hallo
und
vielen Dank
für die exakte und kompetente Lösung.
Da es sich bei der Aufgabe nicht um eine theoretische sonden um eine praktische Aufgabe handelt , gebe ich euch hier noch ein paar Hintergrundinformationen:
Wir planen einen Brunnen mit einer Tiefe von 770m.Die Pumpe ist unter einem frei aufhehängtem Rohr befestigt.Der Rohrinnendurchmesser beträgt 244mm.Damit die Pumpe im Störungsfall problemlos "gezogen" werden kann , muß die Wassersäule die sich im Rohr befindet sich über eine 10mm Bohrung am unteren Ende des Rohres entleeren.
Mit der Formel von
etzwane
läßt sich nun die Füllzeit beim Befüllen der "Steigleitung" berechnen.!!
etzwane
Verfasst am: 13. März 2005 22:09
Titel:
Keinen Fehler gefunden bisher, also fröhlich weiter.
Etwas umgeformt zur Integration:
Jetzt substituieren z.B.:
ergibt
, und integriert:
und mit der Substitution zurück
:
Damit die Zeit positiv (>0) wird, muss
,
was wegen
auch gegeben ist.
Mit
erhält man also letztendlich für die Füllzeit als Funktion des Wasserstandes im Rohr
Kleine Kontrolle für die Füllzeit ohne Abflussbohrung, also mit
:
Mit
für kleine x nahe 0 folgt
= Volumen des Rohres geteilt durch die Zuflussmenge, das passt also schon mal.
etzwane
Verfasst am: 12. März 2005 21:54
Titel:
Es sei:
=Durchmesser des Rohres
=Höhe des Rohres
=Querschnitt des Rohres
=Fläche der Abflussbohrung
=momentane Höhe des Wasserspiegels zum Zeitpunkt t
=zufließende Wassermenge
=abfließende Wassermenge
Wasservolumen im Rohr zum Zeitpunkt t
für die Erdbeschleunigung
Nun gilt für die Zunahme des Wasservolumens im Rohr
,
und mit
folgt
Eigentlich ist das jetzt eine ziemlich einfache DGL geworden:
also zu integrieren:
mit der Anfangsbedingung
(Erstmal aufgehört, will/muss das Ergebnis noch überprüfen.)
kurellajunior
Verfasst am: 12. März 2005 20:02
Titel:
Na damit lässt sich doch arbeiten. Jetzt nur noch
bestimmen *g* und alles als eine Funktion der Zeit.
Dann haben wir es doch schon fast...
Jan
etzwane
Verfasst am: 12. März 2005 19:23
Titel:
Ist bei der Aufgabe nicht angegeben, wieviel Wasser pro Zeiteinheit zuläuft ?
Angenommen, die Röhre ist voll, dann ist die Ausströmgeschwindigkeit unten
, und durch eine perfekt abgerundete Bohrung mit Querschnitt
und ohne irgendwelche sonstigen Verluste würde dann eine Wassermenge von
ausströmen.
Soviel muss also mindestens zufließen.
gast
Verfasst am: 12. März 2005 15:24
Titel:
hallo ihr beiden,
wir haben glücklicherweise die gleichen Überlegungen wie ihr angestrengt , sind theoretisch auf das gleiche Ergebnis gekommen .
Allerdings haben wir noch keine exakte mathematische Lösung .
kurellajunior
Verfasst am: 12. März 2005 15:06
Titel:
Erweiterung des Prinzips:
Betrachte die Röhre unten zu und stelle die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit auf (einfach)
Betrachte die Röhre voll und bestimme die Funktion der Höhe beim Ablaufen (schwieriger)
bestimme aus 2. die Abflussmenge pro Höhe und subtrahiere den Wert von 1. (knifflig)
Überprüfe, ob der Grenzwert für
größer als 600m ist
fertig
Jan
Dieter5858
Verfasst am: 12. März 2005 13:46
Titel:
Hiho
Aua schon wieder eine schöne Aufgabe.
Nur mal zum Prinzip.
Du wirst ja einen konstanten Zulauf haben, dieser Füllt das Volumen des Rohres in einer bestimmten Zeit, Wenn kein Ablauf vorhanden ist wäredas ganze recht einfach.
Zu einem sehr großen Problem kommst du allerdings bei einem Loch im Boden deines Behälters, da hierdurch dein Ablauf nicht konstant ist.
Denn je höher du das Rohr füllen wirst desto mehr Wasser wird durch dein Bodenloch durch den Hydrostatischen Druck gedrückt.
Am Anfang ist dein Ablauf recht gering.
Wenn dein Rohr voller Wasser ist strömt allerdings viel mehr Wasser unten durch.
Kann dir nur sagen das das eine schwierige Rechnung wird.
Wie gesagt du musst darauf achten das der Wasserpegel nicht konstant ansteigt und der Ablauf nicht konstant ist, durch den ansteigenden Ablauf(also das Wasser strömt unten immer schneller raus) steigt das Wasser im Rohr auch langsamer an.
Ich hoffe das hat man so halbwegs verstanden was ich meine.
gast
Verfasst am: 12. März 2005 12:55
Titel: Fülldauerberechnug von Röhre
Hallo an alle
hoffentlich kann mir jemand bei folgendem Problem helfen.
Das Problem :
Wir haben eine 600m senkrecht aufgehängte Röhre.Sie ist unten verschlossen und oben offen.Die Röhre hat einen Innendurchmesser von 300mm.Am Boden der Röhre befindet sich eine Bohrung von 10mm.Die Röhre soll mit Wasser über einen freien Zulauf gefüllt werden.
Die Frage :
Wie lange dauert es bei kostantem Wasserzulauf die Röhe zu füllen .
Formel wäre toll.
Vorab vielen Dank für eure Bemühungen.