Gewicht eines Körpers in Abhängigkeit von der Höhe

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hm

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Dass du ausdauernd nachgefragt hast, spricht dafür, dass du eine glaubwürdige Quelle dafür hast, dass man auf dem Mount Everest tatsächlich leichter ist. Ich habe die Zeit gefunden, mich da mal ausführlicher damit zu beschäftigen, und muss jetzt sagen, dass ich unrecht hatte:

Du hast recht, auf dem Mount Everest ist man tatsächlich etwas leichter !

Durch die Höhenzunahme wird man da oben um 0,28 % leichter, und durch die Masse des Gebirges wird man um knapp 0,1 % schwerer.

Also wird man auf dem Mount Everest im Vergleich zu einer Position auf Meereshöhe insgesamt um rund 0,2 % leichter.

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Ausführliche Begründung:

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1.) Die Abnahme von g durch die Höhenzunahme, also die größere Entfernung vom Erdmittelpunkt, nennt man auf Englisch "Free Air Correction". Man berechnet sie mit dem Gravitationsgesetz:

Dabei ist G die Gravitationskonstante
G = 6,67 * 10^-11 Nm^2/kg^2
und M_Erde die Masse der Erde
M_Erde= 6*10^24 kg

Eine Vergrößerung des Abstandes vom Erdmittelpunkt um die rund 9 km, die der Mount Everest hoch ist, bedeutet eine Vergrößerung von r von ungefähr
r_0=6400 km auf r_1 = 6409 km

Damit erhalte ich eine Abnahme von g um 0,28 %.

Das entspricht also einer Abnahme von g um rund 0,03 % pro Kilometer Höhenzunahme durch diesen Effekt.

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2.) Die Zunahme von g mit zunehmender Höhe auf dem Festland durch die zusätzliche Masse, die sich in dem Berg oder in der Hochebene befindet, nennt man Bouguer-Korrektur.

Um diese zu berechnen, nimmt man eine unendlich ausgedehnte Schicht der Höhe h an, die als zusätzlich Masse eine Gravitationsbeschleunigung bewirkt, und wenn man zum Rechnen die Dichte von Felsgestein als 2,67 g/cm^3 einsetzt, bekommt man damit das Ergebnis, dass die Erdbeschleunigung g durch diesen Effekt um 0,011 % pro Kilometer Höhe zunimmt. Für den Mount Everest bedeutet das in 9 km Höhe eine Zunahme von g um 0,1 % durch diesen Effekt.

(Nachlesen kann man die Grundlagen dazu z.B. auf Englisch unter http://en.wikipedia.org/wiki/Gee)

Wenn ich zum Selberrechnen den Mount Everest als einen Würfel mit Kantenlänge 9 km und der Dichte 2,67 g/cm^3 annehme, dann ist seine Masse M_Berg = 2,67 g/cm^3 * (9 km)^3 = 2 * 10^15 kg, und mit dem Abstand r_Berg= 4500 m zu seinem Schwerpunkt erhalte ich für die von ihm verursachte zusätzliche Gravitationsbeschleunigung g_Berg mit der Formel von oben:

Also ein Ergebnis, das ungefähr in der richtigen Größenordnung liegt. Zum Vergleich das experimentell von Satelliten gemessene Ergebnis, das man auf Schwerekarten der Erde gemittelt für das gesamte Himalaya ablesen kann, das ist um ca. eine Größenordnung kleiner:

.

Opa · Gast

Oh, Ihr seid bei einem grundlegenden Gesetz der Physik. Allerdings ist die Fragestellung nicht vollkommen, daher auch die Antwort nicht, mit Verlaub. Denn die ganze Aufgabe sollte zwei Teile haben und etwa so lauten:
Du stehst am Fuße eines Berges, des Brockens im Harz, und Dein Gewicht sei dort 100 kg.
Ich ersetze den Mount Everest durch den Brocken deshalb, weil es am Brocken einen veröffentlichten Versuch mit Ergebnis gegeben hat.
a) Du steigst auf den Berg, bist Du oben leichter oder schwerer?
b) Du steigst herab und fährst nun in einen neben dem Berg liegenden Bergwerksschacht ein, vielleicht hundert Meter tief; bist Du unten im Schacht schwerer oder leichter?

Begründe Deine Antworten zu a) und b), bitte ohne jede Formel, denn der große Euler (1768) und schon der kaiserliche Mathematiker Ioannes Kepplervs, hundert Jahre vor Newton, kannten die richtigen Antworten.

Wenn aber jemand mit Formeln rechnen will und kann, dann bitte ich um Nachrechnung des am Brocken zustandegekommenen Ergebnisses:
„Ein Wasserwürfel von 1 Meter Kantenlänge wiegt oben auf dem Harz (auf dem „Torfhaus“) etwa 86 Gramm weniger als unten, 500 Meter tiefer, in Harzburg“.
(K. Jung, Schwerkraftverfahren in der angewandten Geophysik, Geophysikalische Monographien, Bd. 2, Leipzig 1961, Seite 52).
Das wäre eine Antwort zum Frageteil a). Bleibt noch b). Und vor allem bleibt die Forderung nach einer einleuchtenden Erklärung.
(Die Rechnungen galten übrigens als so kompliziert, daß man sie auf dem Gymnasium nicht durchführte).
Eigentlich müßte ich noch aus Eulers Brief vom 28. August 1768 zitieren, sowie die Sätze von Kepler. Das sind ganz wundervolle Sätze unserer größten Gelehrten. Man sage, ob man sie hören will. Überhaupt ist die Sache nicht so einfach, wie man an Sätzen des großen Descartes ablesen kann, 1635 an Mersennes: „Ich glaube ... nicht mehr, daß die schweren Körper .. herabkommen ... durch irgendeine Anziehungskraft der Erde.“ Er vertrat die andere Möglichkeit, daß quasi der „Himmel“ draußen die Körper gegen die Erde treibt.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hallo Opa!

Das ist ja interessant, Messwerte zu haben, mit denen man die Überlegungen handfest überprüfen kann! Und Ergebnisse früherer Wissenschaftler zu diesem Thema zu hören!

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Hm, meine Antwort auf a) ist: "man wird leichter", und die Antwort auf b) ist: "Man wird schwerer". Als Begründung ganz ohne jede Formel kann ich nur vermuten: "Man misst es so" (Ohne dass ich bisher eine Messung zu b) kenne). Ich habe die Vermutung, dass man für eine Erklärung mindestens eine Abschätzung der Dichte des Berges bzw. des Bodens sowie der Erde braucht.

Die Begründung von Euler und Kepler würde mich daher sehr interessieren!

Meine Antwort mit Formeln führt über die Ergebnisse für die Free Air Correction (FAC) und die Bouguer-Korrektur, die ich oben schon mal angegeben hatte:

a) am Berg addieren sich die beiden Effekte wie folgt:

Also um 0,01 % leichter.

Das liegt allerdings noch gut einen Faktor 2 über dem Messresultat von oben (-0,038 kg / 1000 kg = -3,8*10^{-5}).

Also fehlt da noch was: Ich habe noch nicht berücksichtigt, dass am Fuße des Berges die Masse des Berges in unmittelbarer Nähe ist und daher nach oben zieht. Dieser Effekt bringt maximal noch einmal den Bouguer-Beitrag für die Differenz der Werte unten und oben, und damit:

Also schon fast der zu erklärende Wert. Die nun noch bleibende kleine Differenz erkläre ich mir damit, dass die mittlere Dichte des Brockens ein bisschen größer sein wird als die 2,67 g/cm^3, mit denen ich die Bouguer-Korrektur berechnet habe.

b) unterirdisch leite ich mir das folgendermaßen her:

1. Man entferne die Schicht von 100 m Dicke unter dem Probekörper. Dann zieht diese nicht mehr von unten am Probekörper, der wird dadurch leichter
2. Dann bewege man den Körper die 100 m nach unten. Dadurch wird er schwerer
3. Dann füge man wieder die Schicht von 100 m Dicke hinzu. Sie zieht nun zusätzlich von oben. Dadurch wird er leichter.

Also addiere ich einmal die FAC positiv hinzu und subtrahiere zweimal die Bouguer-Korrektur.

Also

Also ist nach meiner Rechnung der Probekörper in 100 m Tiefe um 0,0009 % schwerer.

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Die Herleitung der Formeln mache ich wie folgt:

Free Air Correction:

Die Gravitationsbeschleunigung in der Höhe h über einer kugelrunden Erde mit Radius R_E, durchschnittlicher Dichte \rho_E und Masse M_E ist:

Beim Entwickeln habe ich verwendet, dass h/R_E << 1 ist.

Dabei ist die Dichte der Erde

Damit ist die Änderung von g durch die Free Air Correction, bezogen auf den Wert beim Radius R_E, gleich:

g_0 sei der Wert von g am Fuß des Berges, für die Umformung oben habe ich rund 10 m/s^2 verwendet.

Bouguer-Korrektur:

Die Gravitationsbeschleunigung durch eine kreisförmige Scheibe der Höhe h, der Dichte \rho_S und dem Radius

auf einen Körper, der sich direkt auf (oder unter) der Scheibe befindet, ist (in Zylinderkoordinaten r, H, und \phi angesetzt):

Für \rho_S = 2,67 g/cm^3 (Dichte von Felsgestein) ist also:

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Lieber dermarkus,
Opa hat sich außerordentlich gefreut über das große Interesse an Euler und Kepler und an der Sache selbst. Die wundervollen Sätze der beiden werde ich gleich abschreiben aus meiner Quelle, da sie ansonsten nur schwer zu finden sind.
Ich staune über die ausführlichen Formelrechnungen, doch das Ergebnis gefällt mir nicht:
„Also ist nach meiner Rechnung der Probekörper in 100 m Tiefe um 0,0009 % schwerer.“
Denn daraus würde vielleicht folgen, daß man um so schwerer wird, je tiefer man in die Erde hineinfährt. Viele sind aber der Meinung, man würde im Mittelpunkt der Erde gar nichts wiegen. Ich glaube das auch. Einen Satz Eulers will ich vorweg schreiben:

„Dem unerachtet findet man noch in dieser Sache viele Schwierigkeiten, die es der Mühe werth ist zu heben ...“

1) EULER an die kleine Prinzessin Friederike von Brandenburg, am 28. August 1768:
„Nachdem man ... anfieng, einzusehen, daß die Figur der Erde ungefähr kugelförmig und allenthalben bewohnbar sey, so das es Oerter gebe, die uns gerade entgegen gesetzt sind, wo die Einwohner uns die Füße zukehrten, die man auch deswegen Antipoden nennt: so fand diese Meynung so viel Widersprüche, daß einige Kirchenväter sie als eine große Ketzerey ansahen ... Heut zu Tage würde man für einen Thoren gehalten werden, wenn man an ihrer Wirklichkeit zweifeln wollte ... Dem unerachtet findet man noch in dieser Sache viele Schwierigkeiten, die es der Mühe werth ist zu heben .... In der Verlegenheit ... haben einige sie durch die Vergleichung mit einer Kugel zu heben geglaubt, auf deren Oberfläche man oft Fliegen ... eben so wohl oben als unten herumlaufen sieht ... Aber sie denken nicht daran, daß die Insekten ... sich durch ihre Klauen anhaken ... Also müßte der Antipode wohl vielleicht Haken an seinen Schuhen haben ... ; aber er hat keine ... Ja, so wie wir uns einbilden oben auf der Erde zu seyn, so bildet es sich der Antipode auch ein und glaubt, daß wir unten sind. Vielleicht ist es ihm eben so bange um uns als uns für ihn ist ... In der That, wenn sich jemand an der Decke eines Zimmers mit den Füßen halten wollte, so müßten die Haken an seinen Schuhen sehr stark seyn, und bey alledem würde er doch eine traurige Figur vorstellen ... Aber wohin sollte denn nun wohl der arme Antipode, für den man so besorgt ist, fallen, wenn sich das ereignete? ... niemals hat man noch gehört, daß ein Antipode einen so schrecklichen Fall von der Erde hinweg gethan hätte. Vielmehr, wenn sie fallen, so fallen sie wie wir gegen die Erde zu; und doch bilden sie sich ein, nach unten zu fallen. - Allenthalben wo wir uns auf der Erde befinden, ist unten da, wohin die Körper fallen.“
... „Die Philosophen streiten sehr darüber, ob es wirklich eine solche Kraft gebe, die unsichtbar auf alle Körper wirkt und sie nach unten treibt; oder ob es vielmehr eine innere, in dem Wesen der Körper liegende Eigenschaft, und gleichsam eine Art von Instinkt sey, die sie treibt, sich gegen die Erde zu bewegen. Diese Frage läßt sich auf eine andere bringen: ob die Ursache der Schwere in der Natur jedes Körpers selbst, oder ob sie außer ihm existirt ...“
Bei der einfachen Frage nach der Ursache, da gibt es in der Tat mindestens zwei grundlegend verschiedene Möglichkeiten beim geworfenen und fallenden Stein: a) Der Himmel könnte ihn nach unten drücken; b) Die Erde könnte ihn nach unten ziehen. Cartesius bevorzugte die Lösung a).

2) DESCARTES, 1635 an Mersennes: „Ich glaube ... nicht mehr, daß die schweren Körper ...
herabkommen ... durch irgendeine Anziehungskraft der Erde“; 1639 an De Beaune: „Bezüglich der Schwerkraft stelle ich mir nichts anderes vor, als daß die gesamte feine Materie, die sich von hier bis zum Mond erstreckt, durch sehr schnelle Drehung um die Erde alle Körper, die sich nicht so schnell bewegen können, gegen diese treibt.“ - Er sucht also die Ursache nicht in der Erde, sondern draußen!
3) Ein Versuch, veröffentlicht 1961: Ein Wasserwürfel von 1 Meter Kantenlänge wiegt oben auf dem Harz (auf dem „Torfhaus“) etwa 86 Gramm weniger als unten, 500 Meter tiefer, in Harzburg. - Das spricht für eine sich in die Ferne allmählich verlierende Zugkraft der Erde. - Es paßt recht gut zu der Vorstellung, sie könnte im Erdmittelpunkt hausen, von ihm ausgehen. Wäre dies aber nun tatsächlich der Fall, dann müßte unten im Bergwerksschacht unter der Erde aber zu erwarten sein, daß das Gewicht der Dinge, die da hinuntergebracht werden, zunähme, denn sie kommen ja dem Mittelpunkt näher.

4) EULER: „Wir sehen also nun ein, ... daß diese Kraft auf der Oberfläche der Erde am stärksten wirkt; daß sie sich vermindert, wenn man sich von dieser Oberfläche entfernt, es mag dies nun geschehen, indem man in die Erde hinein gegen den Mittelpunkt zugeht, oder indem man von ihr weg in die Höhe steigt.“ Dazu kommt, was Euler so sagt:
„Ich habe schon Ew. Hoheit gezeigt, daß man in der That beobachtet haben will, daß ein großer Berg in Amerika eine kleine ATTRAKTION hervorgebracht hätte.“

Damit kommen wir der Lösung wesentlich näher: gemeint ist die Lotabweichung eines Pendels in der Nähe eines Gebirges. Sie ist außerordentlich gering, aber doch da. In Harzburg beträgt sie nur 1/240 Grad. - Besser und einleuchtender: Durch die „Attraktion“ steigen die Oberflächen der beiden Teiche bei Harzburg nach Süden hin an um 1 cm auf 153 Meter Länge. Die Wassertröpflein der Teiche „spüren“ das Gebirge.
Sie stauen sich ein wenig auf den Harz hin. Und alle Bäume rings um den Harz herum spüren seine Kraft und machen eine kleine Verbeugung zum dicken Brocken hin.

5) KEPPLERVS, der kaiserliche Mathematiker: a) „ ... ob der stain nach dem Mittelen der Welt zile oder nach dem Mittelen der Erdkugel. Jch sage, nit nach dem Mittelen der Welt, sondern nur nach dem Mittelen der Erdkugel. Dan da sihet man die Vrsache, die Erd zeucht solliche schwäre dinge an sich wie ein Magnet das Eisen.“ .....
b) „das alle sachen nach dem saiger ... vnder sich fallen ... das macht die anziehende gewalt der Erden, die steckht nit im Centro sondern im gantzen leib, und ziehen diejenige stuckh am maisten,
die dem auffgeworffenen stain am nechsten seind.“ c) die fallenden Steine „begehren nit des orts, wie Aristoteles will, sondern nur des leibes.“
Es gibt also im Erdmittelpunkt kein einziges Männlein, das uns an Gummischnüren zieht. Nit im Centro.
Sondern alle Teile des Leibes eines Körpers bringen ATTRAKTIONEN hervor, die sogenannten Massenanziehungskräfte.

Zur Verdeutlichung, zum exakten Verstehen, da muß man sich drei einfache Zeichnungen machen.
1. Ein Strichmännlein auf einem langen, ganz leicht gebogenen Strich, der Erdoberfläche.
Man male nun kleine u-förmige Schollen, wie etwa Fischschuppen, unter den Strich, mehrere Reihen davon untereinander, vielleicht fünf bis sieben, das sollen Keplers Stücklein von kleinen Massen sein, Erdschollen gewissermaßen.
Man zeichne anschließend noch ungefähr einen Halbkreis unter dem Männlein. Der Halbkreis enthält dann eine gewisse Menge von Schollen, und das sind Kepplers „stuckh“, die „am maisten“ ziehen, die dem Männlein „am nechsten seind“.
Diese erste Zeichnung soll ungefähr in der Mitte eines Blattes Papier angelegt werden, im mittleren Drittel des Blattes.
2. Man zeichne jetzt neben dem Männlein, ins obere Drittel des Blattes hinein, einen Berg, unten breit, oben spitz zulaufend. Die Bergspitze sollte dabei, das ergibt sich meist von selbst, wesentlich schmaler sein als der Halbkreis von Zeichnung 1. Nun kopiere man das Männlein samt seinem Halbkreis voller Massenschollen derart auf den Berg, daß es mit seinen Füßen genau auf der Bergspitze steht!
Das ergibt die erste Lösung: Der Halbkreis mit seinen Stücklein darin ist auch noch rechts und links von der Bergspitze, diese Stücke von Schollen hängen sozusagen in der Luft. Räumlich gedacht wäre der Halbkreis eine Halbkugel mit noch mehr Massenstücklein darin, die um die Bergspitze herum da in der Luft hängen. In der Luft hängen heißt dann aber: Sie sind eigentlich nicht mehr vorhanden!! Oben auf der Bergspitze ziehen also weniger Massenstücklein an dem Srichmännlein.
Deshalb wird man oben leichter.
3. Im unteren Drittel des Blattes zeichne man zuletzt den schmalen Bergwerksschacht und stelle das Männlein unten auf den Grund des Schachtes. Anschließend zeichne man diesmal den Halbkkreis
über dem Kopf des Männleins!! In dem Halbkreis befinden sich nun bereits diejenigen Stücklein von Massen, die das Männlein über dem Kopfe hat. Und diese ziehen das Männlein nach oben!
Deshalb werden Bergleute unter Tage eine Spur leichter, als sie es oben waren.

Zitiert aus Martin Wagenschein, Ursprüngliches Verstehen und exaktes Denken, Band II, Klett, 1970, S. 25 bis 40. Da steht noch einiges mehr.

Gast

> Deshalb werden Bergleute unter Tage eine Spur leichter, als sie es oben waren.

Das wäre so, wenn die Erde eine konstante Dichte hätte. In diesem Fall könnte man
die Gewichtskraft einfach durch F(r) = m*g*r/R ausdrücken, mit R = Erdradius, und
die Beschleunigung ergibt sich dann als a(r) = g*r/R, im Zentrum also null.

Auch wenn es "im Centro" wohl kein Männlein gibt, das an uns zieht, der Zusammenhang
kann schon mit einem solchen Feder-Modell beschrieben werden. Es zieht um so stärker,
je weiter wir von ihm entfernt sind. Über der Erdoberfläche gelten dann neue Regeln.

Jetzt ist die Dichte des Erdmantels aber größer als die der Erdkruste. Dadurch nimmt
die Beschleunigung bei der Reise zur Erdmitte erst etwas zu und dann stetig ab.
Es ist also zu erwarten, dass das Gewicht dem gleichen Verlauf folgt.
Wir wohnen auf der Schale des Erd-Apfels...

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

„... der Zusammenhang kann schon mit einem solchen Feder-Modell beschrieben werden. Es zieht um so stärker, je weiter wir von ihm entfernt sind. Über der Erdoberfläche gelten dann neue Regeln.“

Aber, aber, ein Federmodell? Ist damit eine Federwaage gemeint, die man im Physikunterricht oben an einem Stativ befestigt, dann unten an ihre Feder Stücke anhängt, deren Gewicht man dann ablesen kann an einer aus dem Gehäuse herauskommenden Skala? Falls ja, dann gebe ich zu bedenken: die Lotabweichung eines Pendels neben einem Gebirge, - Eulers Berg in Amerika brachte Attraktionen hervor. Die Federwaage müßte in diesem Falle waagerecht angebracht werden? Wie denn?
Sie taugt anscheinend wenig als Modell hier.
Und unterirdisch waagerecht? Zum Beispiel zwischen einem besonders dichten Felsbrocken mit Silber oder Gold darin und einer waagerecht davon liegenden einfachen Erdscholle?
Oder zwischen zwei Massenstücken beliebiger Dichte, von denen eines links oben und das andere rechts unten liegt, egal ob beide oberirdisch oder unterirdisch liegen.
Außerdem widersprechen des Gastes Ausführungen ein wenig sich selbst, vor allem aber dem Euler und dem Kepler und dem Wagenschein, ferner dem Newton und dem Einstein sowie schließlich auch dem Opa.
Es macht wenig Sinn, Federwaagen, Beschleunigung oder Formeln, die auf null kommen, oder Dichten einzuführen, wenn nicht geklärt ist, worum es überhaupt geht.
Wenn unser Männlein im Mittelpunkt der Erde nichts wiegt, dann bedeutet das nicht, daß keine Massenanziehungskräfte, keine Schwerkraft, keine sogenannte Erdanziehung mehr vorhanden sind. Im Gegenteil, dort wirken sie wohl am stärksten und rundum, zwischen der Männleinmasse und den überall rundum liegenden Stücklein Erden. Nur, im gedachten Idealfall, da wird dort das Männlein von überall rundumher von gleichen Massen angezogen, so daß alle Massenanziehungskräfte sich gegenseitig „aufheben“.
Vielleicht taugt das Modell Federwaage doch etwas im Erdmittelpunkt, wenn man rundum am Männlein tausende Federwaagen anhängen können würde und jeweils das andere Ende der Federwaagen mit den rundumliegenden Massenstücklein verbinden könnte.
Jede einzelne Federwaage würde dann sicherlich etwas anzeigen oder nicht?

Deshalb werden Bergleute unter Tage eine Spur leichter, als sie es oben waren.
Das hat Wagenschein geschrieben, in Übereinstimmung mit Euler und Kepler. - Gast bezweifelt es? Er könnte sich die drei beschriebenen Zeichnungen anfertigen, die vielleicht dann zur Verständigung beitragen mögen.
Über Tage haben die Bergleute Luft über ihren Köpfen; unter Tage haben sie „Erden“, wie Kepler sagt, über ihren Köpfen, egal welcher Dichte, jedenfalls „dichter“ oder schwerer als Luft. Diese Massen über den Köpfen der Bergleute ziehen wie Magnete per Massenanziehungskraft,
per „Gravitation“, die Bergleute unter Tage nach oben. Die Bergleute werden deshalb eine Spur leichter.

Nicht aber werden sie unter Tage erst schwerer und dann leichter, nein sie werden sofort leichter, schon bei einem einzigen Millimeter unter Tage.
Und wenn der Bergmann über Tage da noch auf einen Kasten (Bier) steigt, dann wird er ebenfalls um eine geringe Spur leichter. (Vgl. Euler). Ist schon erstaunlich.
Oder Faust I, Studierzimmer, (Mephistopheles):
Da seht, daß Ihr tiefsinnig faßt,
Was in des Menschen Hirn nicht paßt!

Gast

> Ist damit eine Federwaage gemeint

Nicht die Waage selbst, nur ihr Funktionsprinzip im übertragenen Sinne. Der gleiche Formalismus, der den Zusammenhang von Kraft und Weg bei einer Feder beschreibt, ist auch auf die Schwerkraft innerhalb der Erde anwendbar, aber auch nur innerhalb. Oben ist der Kopf in der Tat leichter als die Füße, selbst ohne Bierkiste, wenn auch nur sehr, sehr wenig. Meine Darstellung des Verlaufs der Gravitation innerhalb der Erde stammt übrigens ursprünglich von einem Zeitgenossen Newtons, von Robert Hooke, und ist in vollem Einklang mit Newtons Theorie der Gravitation, an deren Formulierung Hooke erheblichen Anteil hatte, was Newton aber gern unerwähnt ließ.

Nur wussten die beiden damals nichts über den inneren Aufbau der Erde, sonst hätten sie mir sicher zugestimmt, denn es folgt aus genau den Theorien, die sie entwickelt haben und die sich bis heute als brauchbar erwiesen haben um solche Zusammenhänge zu beschreiben.

Die mittlere Dichte der Erde ist etwa 5,5 g/cm^3, die der Gesteine nahe der Oberfläche im Durchschnitt aber nur 2,7 g/cm^3, und das viele Wasser hat gar nur etwas mehr als 1 g/cm^3. Manchmal hilft es dem Verständnis, wenn man die Verhältnisse stark übertreibt um damit den wesentlichen Zusammenhang zu verdeutlichen. Nehmen wir dazu an, die Erdkruste wäre aus Schaumstoff, vielleicht doppelt so dicht wie Luft.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/e/e5/Aufbau_der_erde_schematisch.png/300px-Aufbau_der_erde_schematisch.png

40 km Schaumstoffkruste also, dann fängt der solide, dichte Teil an, der Erdmantel. Würden wir dann nicht, um im Bild zu bleiben, auf der Bierkiste stehen? Und wenn wir einen Schacht graben würden nach unten in den Schaumstoff, wäre das nicht so, als würden wir gewissermaßen von der Kiste hinunter steigen?

Wenn man wissen will, ob dieses Bild auch der Realität entspricht, dann muss man es mit bekannten Daten durchrechnen. Das ist getan worden und das Ergebnis war der beschriebene Verlauf der Schwerkraft. Das heißt nicht, dass es stimmt, es heißt nur, dass ich keine Informationen habe, die dem widersprächen.

> Jede einzelne Federwaage würde dann sicherlich etwas anzeigen oder nicht?

Nein, nichts. Der Innenraum einer 'massiven' Hohlkugel ist frei von Schwerkraft, egal wo man sich dort aufhält, einschließlich der inneren Oberfläche, so Newton. Aber die Uhren gehen dort langsamer als bei uns hier oben, und die auf einem hohen Berg gehen schneller als unsere hier unten, so Einstein. Ist schon erstaunlich.

Die Sonne dreht sich um die Erde, das sieht man doch nun jeden Tag. Kein vernünftiger Mensch kann daran zweifeln. In 'des Menschen Hirn' hat auch erst mal nicht gepasst, dass schwere Gegenstände nicht schneller fallen als leichte, und doch ist es so. Das Lernen hört niemals auf.

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

> Das Lernen hört niemals auf. <

O edler Gast, wie wahr und wie unwahr.
Das bunte Bild ist ganz wundervoll, wenn es auch mit dem Thema Gravitation nur wenig zu tun haben dürfte, auf den ersten Blick. (Wie kann man so ein Bild einfügen?) Ich habe es kopieren können in eine Worddatei hinein, und siehe da, es erschien die Aufforderung, zu klicken. Da bin ich dann bei einer Wikipediaseite gelandet. Da wiederum gibt es einen Klick zum Thema Gravitation. Dort steht
„Das newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass sich die Gravitationskraft F, mit der sich zwei Massen m1 und m2 anziehen, proportional zu den Massen beider Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r der Massenschwerpunkte verhält: ......
Aus dem newtonschen Gravitationsgesetz folgt, dass die Gravitation an einem Punkt einer sphärisch symmetrischen (kugelförmigen) Massenverteilung im Abstand r von ihrem Schwerpunkt stets so groß wie die Gravitation einer Punktmasse in diesem Schwerpunkt ist, deren Masse gerade dem Teil der Gesamtmasse entspricht, der sich innerhalb der Kugel mit dem Radius r befindet. Innerhalb einer homogenen Kugel bedeutet das, dass die Gravitationskraft proportional zum Abstand vom Mittelpunkt ist. Die Gravitation einer homogenen Kugel im Vakuum ist daher an ihrer Oberfläche am größten. Das gilt auch für die Erde.“

Die letzten beiden Sätze entsprechen ungefähr dem, was Euler sagt:

4) EULER: „Wir sehen also nun ein, ... daß diese Kraft auf der Oberfläche der Erde am stärksten wirkt; daß sie sich vermindert, wenn man sich von dieser Oberfläche entfernt, es mag dies nun geschehen, indem man in die Erde hinein gegen den Mittelpunkt zugeht, oder indem man von ihr weg in die Höhe steigt.“

Daher nehme ich an, daß die zitierten Ausführungen in Wikipedia wohl richtig sein dürften. Oder andersherum, Kepplervs, der kaiserliche Mathematiker und Astronom, der beschrieb die Sache richtig, ebenso stimmen Eulers Sätze. Und ferner lehrte Newton im Grunde das, was Kepler bereits mit dem Herzen verstanden hatte. Und Euler (1707 -1787), der lehrte ziemlich genau das, was Newton (1643 - 1727) hundert Jahre zuvor gelehrt hatte. Und Wikipedia lehrt 2006 nichts anderes als Kepler (1571-1630). Mit anderen Worten, das Wissen der Menschheit über das eigentliche Wesen der Gravitation besteht seit 400 Jahren. Opa würde ja gerne, lernbegierig, wie er ist, wesentlich Neues dazulernen in Sachen Grundverständnis der Gravitation oder Massenanziehungskraft. Doch er fand nicht Neues, selbst nicht bei Wikipedia.
Gast hat allerdings wunderlich Neues.
> Jede einzelne Federwaage würde dann sicherlich etwas anzeigen oder nicht?
Nein, nichts. Der Innenraum einer 'massiven' Hohlkugel ist frei von Schwerkraft, egal wo man sich dort aufhält, einschließlich der inneren Oberfläche, so Newton.<

Nein, das kann Newton nicht gelehrt haben. Im Gegenteil, er lehrte, daß die Gravitation überall in unserem Sonnensystem vorhanden ist. Folglich gibt es sie auch innerhalb einer 'massiven' Hohlkugel, - was ist damit denn bitte gemeint?
Manchmal liest und hört man ja, die Astronauten auf der Reise zum Mond seien in den Bereich der Schwerelosigkeit eingetreten. Nach Newton aber gibt es da zwischen Mond und Erde keinen solchen Bereich, denn nach wie vor wirken die Gravitationskräfte vom Mond und die von der Erde auf die Astronauten ein. Das wäre eine Sache für zwei „Federwaagen“. Eine davon zwischen Astronaut und Erde, die andere zwischen Astronaut und Mond. Ob die beiden „Federwaagen“ da an dem Pünktlein, an dem sich die Gravitationen von Mond und Erde gegenseitig „aufheben“, etwas anzeigen würden? Wenn’s ordentliche Gravitationsfederwaagen sind, dann könnten sie was anzeigen oder nicht?

Da steh ich nun, ich armer Thor!
Und bin so klug als wie zuvor.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das ist ja eine Goldgrube!

Den schönen Zitaten spüre ich den Geist der Wissenschaft an, der neuen Gesetzmäßigkeiten auf der Spur ist, indem er die Natur in Modellen betrachtet, die so klar und vereinfacht sind, dass die Gesetzmäßigkeiten klar hervortreten. Das war zu Zeiten von Galilei, Kepler und Newton nicht selbstverständlich, sondern eine der großen Errungenschaften der damaligen Wissenschaft.

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Lieber dermarkus,
Euler und Newton und Kepler haben sich sehr gefreut. Endlich mal ein Lob und ein großes dazu.
Können Gast oder dermarkus mir einen Rat geben, eine genaue und ausführliche Hilfesstellung oder Beschreibung, wie auch ich als Opa hier eine Zeichnung hineinstellen kann?

Kepplervs hat sich besonders gefreut über die Zeichnungen 1 und 2. Bei 3 allerdings wurde er unruhig und bei 4 schien er mir gar etwas säuerlich dreinblicken zu wollen. Sir Isaac Newton, der jeden Satz Keplers belauschte, der sogar sein Minenspiel wie kein anderer kennt, wollte sich mit den letzten beiden Zeichnungen dann auch nicht mehr so richtig anfreunden. Euler meinte, ach, was habe ich damals doch für schöne Sätze der kleinen Prinzessin geschrieben. Dann beauftragte er mich, bei den löblichen Herren Gast und dermarkus um Hilfe anzufragen, das Einfügen einer Zeichnung betreffend. Wagenschein meinte, ja dann könntest Du ja auch meine zwei kleinen Zeichnungen mit ins Netz stellen, wenn Du sie gescannt und in jpegs umgewandelt hast.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Lieber Opa, zum Hochladen von Bildern habe ich dir eine private Nachricht geschrieben. Du findest sie unter "Physikerboard" oben rechts bei deinen 'neuen Nachrichten'. smile

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Gast

Gravitation bleibt mysteriös. Schwerkraft beschleunigt Massen, aber dazu muss Impuls übertragen werden. Der physikalische Mechanismus ist unerkannt, es gibt nur akzeptierte Formalismen zur Beschreibung der Wirkungen. Newton hat es abgelehnt, über die physikalischen Ursachen zu spekulieren und sich auf eine rein mathematische Abhandlung beschränkt. Er hat nur geäußert, dass er nicht an eine Fernwirkung glaube, denn das sei ein Rückfall in magisches, vorwissenschaftliches Denken. Sind wir heute, getarnt in verkrümmten neuen Kleidern aus Geometrie und Mathematik, dorthin zurückgekehrt? Oder ist die Suche schlicht aufgegeben worden?

> .. er [Newton] lehrte, daß die Gravitation überall in unserem Sonnensystem vorhanden ist.

Ich habe die Sache mit den Uhren erwähnt um auf die beiden Aspekte des Gravitationsfeldes hinzuweisen: Gravitationsbeschleunigung und Gravitationspotential. Hiermit lässt sich das Rätsel lösen, warum trotz eines starken Feldes keine Schwerkraft wirkt im Innern des von Masse umgebenen Hohlraums (das war mit der 'massiven' Hohlkugel gemeint). Im Bild unten ist der Verlauf des Potentials in Relation zum Abstand vom Zentrum gezeigt, und zwar für eine Kugel mit überall gleicher Dichte, nicht vergleichbar mit der Erde. Die Schwerkraft bzw. Gravitationsbeschleunigung entspricht der Steigung der Kurve und man kann sehen, dass diese bei r = a (a ist der Radius der Kugel) den größten Wert hat und sich um diesen Punkt herum auch nicht stark ändert. Bei r = 0 (im Zentrum) ist sie null, ebenso für r -> unendlich. Das Potential hingegen steigt in Richtung Zentrum weiter an bis zum maximalen Wert (unten) und geht mit wachsendem Abstand von der Kugel gegen null (oben). Dieses Potential ist ein Maß für die Geschwindigkeit atomarer Wechselwirkungen und daher auch der Ganggeschwindigkeit von (Atom-) Uhren. Das Gravitationspotential gibt gewissermaßen an, wie 'tief' man im Feld steckt, also welche Arbeit aufzuwenden wäre, wenn man sich daraus ganz oder teilweise 'befreien' wollte.

Das andere Maß für die Ganggeschwindigkeit von Uhren ist übrigens ihre Geschwindigkeit im lokalen Gravitationsfeld (nicht aber die Beschleunigung), aber das ist ein anderes Thema.

Fortschritt kommt durch die Beantwortung von Fragen,
Entdeckungen hingegen durch das Befragen der Antworten.

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Die folgende Zeichnung soll zweierlei verdeutlichen
1. Keplers Satz „... das macht die anziehende gewalt der Erden, die steckht
nit im Centro
sondern im gantzen leib,
und ziehen diejenige stuckh am maisten,
die dem auffgeworffenen stain am nechsten seind.“

2. Oben auf dem Berg wird man leichter, weil weniger Massenstücke ziehen als unten.
Denn die Halbkreis-Massenstücke rechts und links vom Berge kann man sich wegdenken.

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Die nächste Zeichnung aus Wagenscheins Buch erläutert Keplers
(die fallenden Steine) ...„begehren nit des Orts, wie Aristoteles will, sondern nur des leibes.“
Links Aristoteles; rechts dagegen einige (wenige nur) Repräsentanten der Zugkräfte.

Links ein leeres geometrisches Schema (Wagenschein);
rechts wird das Männlein von jeder Scholle des Erdleibes gehalten.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Vorneweg:

Diese schönen Bilder und das Stirnrunzeln wichtiger Leute haben mich dazu bewogen, meine Bildlein oben ein bisschen übersichtlicher zu malen. Die verschönerte Version findet sich nun oben anstelle der alten.

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Mit diesen schönen Bildlein verstehe ich nun viel besser, was Wagenschein meint! Mit seinem zweiten Bild bin ich voll und ganz einverstanden. Genau mit solch einer Vorstellung habe ich gearbeitet, als ich die Massenanziehungskräfte der vielen einzelnen Massenpunkte berechnet und mit einem Integral zusammengezählt habe, um die Formel für die Bouguer-Korrektur herzuleiten.

Sein zweites Bild ist eine schöne klare Möglichkeit, in einem einzigen kleinen Bildlein zu zeigen, dass man auf dem Berg leichter wird (unter der Annahme, dass die Dichte des Berges nicht wesentlich anders ist als die Dichte des Bodens direkt darunter; diese Annahme halte ich für durchaus realistisch). Für diese elegante Reduktion des Problems auf diesen einfachen und klar durchschaubaren Teilaspekt hat nun auch er ein Lob verdient, für gutes didaktisches Erklären! Denn er hat erkannt, dass eine ausführlichere und detailliertere Betrachtung, wie sie Geophysiker von heute durchführen, nicht nötig ist, um das zu verdeutlichen, was er sagen wollte ("oben auf dem Berg ist man leichter").

Sein Schritt in seinem Bild ist also der in meinem Bild unten von 3Ca nach 3D. Geophysiker, die erklären wollen, dass man nicht nur auf einem Berg, sondern auch auf einer flachen Hochebene leichter ist als unten, und die richtig vorhersagen und berechnen wollen, wie groß der Effekt ist, müssen allerdings die Schritte 3A bis 3Ca vorneweg auch noch mitberücksichtigen. Und wenn sie die Gravitationsbeschleunigung mit ihren Gravimetern (das sind heutzutage genaue Federpendel, die klein genug sind, um gut transportabel zu sein) messen und mit ihren Rechnungen vergleichen, können sie damit über die Dichte des Gesteins unter ihnen Informationen gewinnen und damit auf die Art des Gesteins schließen.

Ich stimme Gast zu, dass laut der allgemeinen Relativitätstheorie Uhren im größeren Gravitationspotential langsamer gehen, und bin einverstanden mit seiner schönen Darstellung des Gravitationspotentials U(r) einer homogenen Kugel. Ich würde die Gravitation heutzutage allerdings vielleicht weniger als mystisch, sondern eher als spannend betrachten: Obwohl wir schon alle Experimente mit Gravitation, die wir bisher durchführen können, mit Newtons Gravitationstheorie oder Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie beschreiben und ihre Ergebnisse vorhersagen können, bleiben experimentell ungeklärte Fragen wie zum Beispiel die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Gravitationswechselwirkung.

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

>> Ich würde sagen, da hat Opa mit scharfem Auge eine Ungenauigkeit in der Wikipedia entdeckt. <<
Kann es nicht sein, daß hier jemand irrt und die beiden Sätze in Wikipedia korrekt sind?

Nebenbei:
In Wagenscheins Zeichnung links der „Aristoteles“ läßt sich recht gut auch zur Darstellung des Weltbildes des Aristoteles und der Antike benutzen, des klassischen geozentrischen Systems.
Man denke das Männlein und den Pfeil weg. Der kleine Kreis in der Mitte sei nun die Erde im Mittelpunkt des Weltalls. Man denke sich noch einige konzentrische Kreise hinzu, auf dem ersten kleinsten läuft der Mond um die Erde herum, dann Merkur, Venus, Sonne, Mars, Jupiter, Saturn. An den vorhandenen letzten Kreis hefte man noch ein paar Fixsterne an. Nun ist alles auf die Erde als Mittelpunkt des Weltalls bezogen.
Was brachte dieses Weltbild zum Einsturz?
Na, das war wohl die Entdeckung der Jupitermonde, die um den Jupiter herumlaufen, also nicht um die Erde, nicht um den Mittelpunkt der Welt.
Man zeichne einen kleinen Kreis, den Jupiter, mit ein paar Pünktchen drumherum ein ins „leere Schema“, zwischen Erde und Fixsternhimmel.
Wagenschein: „Für die Jupitermonde ist nicht der Mittelpunkt der Welt der Ort um den sie kreisen. Es ist ihr Jupiter, der ja nicht in der Weltenmitte sitzen kann, wenn wir es tun.
Er kann ihr Regent nur sein vermittelst seiner Materialität, Körperhaftigkeit, Leibhaftigkeit.
Und sie sitzt überall in ihm, nicht gerade im Mittelpunkt.“
Kepler: „...die steckht nit im Centro, sondern im ganzen leib, und ziehen diejenige stuckh am maisten, die dem auffgeworffenen stain am nechsten seind“.
Es gibt offenbar Zugkräfte zwischen Jupiter und seinen Monden, den aufgeworfenen Steinen, genau wie es Zugkräfte zwischen Eulers Attraktions-Berg in Amerika und einem daneben gehaltenen Lot gibt.
Das alles aber darf nach antikem Weltbild nicht sein, denn da steht die Erde im Mittelpunkt.
(Und auf der Erde konzentrierte sich alles auf den Mittelpunkt der Erde hin).
Gewiß, man kann, wenn man will, mit Hilfe der Integralrechnung, die übrigens Keppler nebenbei erfand, vorgehen, und alle Massenschollen der Erde rein rechnerisch zu einem einzigen Wert zusammenzählen und diese Kraft dann als theoretisch im Erdmittelpunkt sitzend weiter verwenden in Rechnungen. - Kepler erfand die Integralrechnung nebenbei, als er vermutete, sein Winzer würde ihn betrügen bei der Angabe des Inhaltes von Wein in einem Faß. Er steckte einen Stab ins Faß hinein, dann hatte er’s.
Newton baute dann Keplers Ansatz zur Formel aus. -

Wagenscheins zweite Zeichnung mit den Massenschollen führt vielleicht weiter, wenn das Männlein, immer gehalten von den Zugkräften aller einzelnen Massen, nun, sagen wir 500 Meter, in die Erde hineinfährt.
Diesen Fall des Leichterwerdens soll die folgende Zeichnung verdeutlichen. Es sind die Massenstücke über dem Kopf, die nach oben ziehen. Man kann sie vielleicht vage mit den Leibeskräften Jupiters vergleichen, die einen seiner Monde (das Männlein) an sich binden?!

Gast

> Man kann sie vielleicht vage mit den Leibeskräften Jupiters vergleichen,
die einen seiner Monde (das Männlein) an sich binden?!

Aber nur sehr vage, denn innerhalb einer Masse gelten eben andere Regeln als außerhalb.
Ist denn bei Wagenschein überhaupt von Masseverteilung oder Dichteverlauf die Rede, oder
geht er, vielleicht unausgesprochen, von einer homogenen Erde aus, und will lediglich die
prinzipiellen, also idealisierten, Zusammenhänge darstellen?

In der Realität steckt oft der 'Teufel' im Detail, aber das habe ich ja schon ausgeführt.
Und wenn das erstaunliche Diagramm das Markus gezeigt hat zutrifft, dann war mein Modell
aus Schaumstoff ja eher noch eine Untertreibung: In 3 km Tiefe würde man danach etwa 10%
schwerer sein als hier oben, und erst danach würde man leichter. Faszinierend...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Gast

3 km war Tippfehler, der halbe Erdradius war verstanden. Den Dichtesprung fand ich erstaunlich,
dort beginnt wohl der äußere Erdkern. Die Schaumstoffsache war ja auf die Erdkruste bezogen, dieser
Bereich ist im Diagramm nur mühsam zu erkennen, aber es scheint auch dort leicht aufwärts zu gehen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

> Ist denn bei Wagenschein überhaupt ......<
Wagenschein ging es um ursprüngliches Verstehen und exaktes Denken, so lautete einer seiner Buchtitel. Er war der Ansicht, etwa 95 Prozent der Abiturienten, Studenten und Erwachsenen hätten etwas im Kopfe, was er Bildungsschotter nannte, unverstandenes Pseudo-wissen. So wurde beispielsweise einmal von dem aus dem Fernsehen bekannt gewordenen Astronom Rudolf Kühn eine Umfrage unter den Besuchern seiner Sternwarte gemacht.
„Wie kommt es,“ so fragte er, „daß die Gestalt des Mondes vom Vollmond zum Halbmond, zur Sichel und zum Neumond wechselt?“ Etwa achtzig Prozent der befragten Besucher wußten keine richtige Antwort. Eine andere Umfrage ergab, daß etwa 25% der Studenten, dieselbe rasche, doch absurde Auskunft zur Hand haben: der Schatten unserer Erdkugel sei es; der mache den Mond immer wieder zur Sichel. Von Wagenscheins Studenten wurde anschließend diese Umfrage unterderhand und unsystematisch weiter durchgeführt. Sie ergab, daß in einem beliebigen Personenkreis ungefähr 50 % den Erdschatten verantwortlich machen. Opa gehörte auch dazu. Seitdem versucht er mühsam, seinen Bildungsschotter zu sortieren, ihn wegzuräumen und ganz einfache Erkenntnisse sich zu verschaffen.
Wie er das macht, geht aus seinen Beiträgen hervor: Er versucht, bei den großen Gelehrten nachzulesen. Zum Beispiel bei Galileo Galilei, den es manchmal in Antiquariaten gibt, in deutscher Übersetzung. Das erste echte Gesetz der neuzeitlichen Physik, sagen einige, das sei das Fallgesetz. In der Schule wurde es mir beigebracht mit s = ½ g t². Galilei aber kannte kein s, kein g und kein t, diese Formelsprache gab es nicht, er mußte mit der normalen Sprache ausdrücken, was er gefunden hatte. Wie heißt es bei ihm?
„Man sieht also, ... daß ... die in gleichen Zeiten durchlaufenen Wege sich wie die ungeraden Zahlen 1, 3, 5 ... verhalten. ...“.
Wie sah seine Versuchsanordnung aus, wie hat er die Zeit gemessen?
Das sind die eigentlich interessanten Fragen, aus denen heraus sich ein ursprüngliches Verstehen entwickeln kann. Aus einer schnell gelernten Formel wie ½ g t Quadrat aber entwickelt sich nichts. Wagenschein nennt sie eine Scheinblüte, eine Papierblume.

> 10% schwerer < unter Tage, hat das was mit dem Weltmodell der Pythagoräer zu tun, die wegen der heiligen Zahl 10 zu den acht „Planetensphären“ noch ein Zentralfeuer und eine berühmte Gegenerde kannten, die beide man leider nicht sehen konnte, weil man auf der ihnen abgewandten Seite lebte?

Das Schaumstoffmodell kam mir auch als Untertreibung vor, ist es doch aufschlußreich und gewiß extrem faszinierend ...

> In der Realität steckt oft der 'Teufel' im Detail <
Ja der alte Diabolos, was kann der nicht alles durcheinanderwerfen, wohl gar auch die verschiedenen Dichten im Schaumstoff, gewiß aber die Realität, wenn’s eine solche jemals gibt. - Eigentlich müßte man mit einem Wasserwürfel von einem Meter Kantenlänge 3 km tief in den Bergwerksschacht einfahren und ihn dort wiegen, um die strittige Frage per Versuch entscheiden zu können. Doch wer macht’s.

Opa hat noch eine ‚teuflische’, gleichwohl ziemlich formelfreie Frage:
Tycho Brahe, der Mann mit der goldenen Ersatznase, Keplers Vorgänger in Prag, sogar einen Krater auf dem Mond hat man nach ihm benannt, behauptete etwa:
Die Erde dreht sich einmal am Tag herum. (Das macht heute ungefähr 40 000 km / 24 / 60 / 60 = 0,462 km pro Sekunde, am Äquator etwa). Wenn nun ein Apfel vom Baum fällt, dann dreht sich die Erde unter ihm weg, so Tycho. Dauert der Fall nun 1 Sekunde, dann würde der Apfel gut 400 Meter vom Baum entfernt in Nachbars Garten landen. (So weit ging Tycho allerdings nicht, doch immerhin ließ er den Apfel nicht senkrecht fallen, sondern ein paar Millimeter weg von der Senkrechten, links, weil die Erde sich weitergedreht hatte. Wohin fällt der Apfel, etwas nach links, genau senkrecht oder etwas nach rechts?

Gast

> Wohin fällt der Apfel, etwas nach links, genau senkrecht oder etwas nach rechts?

Links und rechts sind relative Richtungen, sie sind nur bestimmt wenn man weiß, wo vorn ist,
oben und unten ergeben sich auf der Erde 'von selbst'. In diesem Fall ist es besser, eindeutige
Richtungen zu verwenden, also Osten und Westen. Der Apfel am Baum bewegt sich schneller nach
Osten, als der Boden unter ihm, denn in einem rotierenden Gebilde hängt die Bahngeschwindigkeit
eines Ortes von seinem Abstand vom Drehzentrum ab, hier der Erdmitte.

Sobald man diesen Gedanken realisiert hat, ist die Antwort rein deduktiv zu bekommen, man kann
den Vorgang beschreiben als einen waagerechten Wurf aus der Höhe h des Apfels, und das mit einer
Startgeschwindigkeit, die dem Zuwachs der Bahngeschwindigkeit bei Höhe h gegenüber der Höhe null
am Boden entspricht. Der waagerechte Wurf hat zwei Komponenten, einmal den freien Fall aus h, und
gleichzeitig eine horizontale Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, von allen Widrigkeiten ist
aber dabei abgesehen, ganz im Sinne Wagenscheins, nur der pure Effekt wird beschrieben, und auch
die Kreisbahn wird wegen des riesigen Radius hier gerade gebogen.

Überlagert man diese beiden Bewegungen, also die beschleunigte nach unten und die konstante nach
Osten, dann gelangt man zu einer beschreibenden Gleichung, die den Versatz des Apfels gegenüber
dem Punkt lotrecht unter dem Startort angibt. Die Zeit für den ganzen Vorgang bekommt man aus der
für den Fall, und der horizontale Weg ist dann die beschriebene Startgeschwindigkeit mal der Zeit.

Würde man einen 50 m hohen Apfelbaum am Äquator finden, dann würde der Apfel knapp 12 mm versetzt
in Richtung Osten auf dem Boden ankommen. Aber nur ohne Luft dazwischen, denn der Teufel steckt
auch hier wieder mal im Detail.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Nachtrag zu dermarkus:
> Einverstanden, diese Massenstücke ziehen nach oben. <
Und wenn das ganze in einem Berg stattfindet, dann wird man deshalb leichter. <

Wenn einmal erkannt ist, daß es Massenstücke gibt, die nach oben ziehen, dann reicht dies vollkommen aus. Es spielt keine Rolle, ob das ganze in einem Berg stattfindet oder woanders, solange nur es Massenstücke über dem Kopf gibt.
Das ist eine Analogie, besser noch, ein logischer Schluß. Vielen Dank, es ist schwer gewesen, ein erstes Einverständnis zu erhalten.

> Ich nehme zu Wagenscheins Gunsten an, dass er mit seinem anschaulichen Bild dies gemeint hat.
Wenn das ganze unter Meereshöhe stattfindet, dann allerdings gilt Wagenscheins einfaches anschauliches Bild nicht mehr. <
Das wäre wohl unlogisch gedacht, aus zwei Gründen.
Einmal ist es vollkommen egal, wo man sich befindet, wenn man nur zwei Massen hat, solche wie die beiden dicken schwarzen Kugeln, aus einem Physiklehrmittelraum stammende. Sie entsprechen etwa Eulers Berg und einem daneben gehaltenen Lot.
Die beiden Kugeln besitzen Zugkräfte, die beiden Massen ziehen sich an. Viele Seiten im Netz beschreiben ausgeklügelte Experimente, die das nachweisen. Der Nachweis gelingt unabhängig davon, ob man sich in einem Berg befindet oder nicht.
Und er gelingt auch unabhängig davon, ob man sich unter Meereshöhe befindet.
Zweitens denke man sich die beiden Kugeln senkrecht übereinander angeordnet, alles klar?
Wagenscheins Bild stimmt also auch hier, gewiß ist es vereinfacht, aber es stimmt.
Schließlich hält doch Jupiter seine Monde mit solchen Zugkräften, und auch die Erde hält den Mond.

O, ich sehe, der Apfel findet großes Interesse.
Tycho Brahe schreibt 1589: „... sage mir, wie kann denn eine Bleikugel, die man von einem recht hohen Turm in passender Weise fallen läßt, den genau lotrecht unter ihr liegenden Punkt der Erde treffen? Eine einfache mathematische Überlegung zeigt Dir, daß dies bei bewegter Erde vollkommen unmöglich ist. Selbst in unseren Breiten müßte sich ein Erdpunkt in einer Sekunde noch um 150 Doppelschritte nach Osten weiterdrehen.“
Kann man, nach heutigem Wissen, darauf schließen, wo auf der Erde (in welchen Breiten) Tycho Brahe sich befand, als er die Angabe 150 Doppelschritte schrieb?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

Mit einem Doppelschritt dürfte er den passus gemeint haben, einige Lateinwörterbücher oder Seiten im Netz geben ca. 1,50 m dafür an. Andere legen 1 pes zu 0,296 m zugrunde und kommen dann mit 5 Füßen = 1 passus (Klafter oder Doppelschritt) auf 1,48 Meter. Wie rechnet man jetzt aus, wo sich Tycho befunden haben mag?
Gruß Opa

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich glaube, ich habe nun wieder etwas dazugelernt:

Wenn ich in meinen Bildlein 4A bis 4D die ganze Erde betrachten möchte, dann muss ich auch im Schritt von 4A nach 4B die ganze Kugelschale abziehen.

Opa hat mich aber richtig verstanden, dass ich an dieser Stelle einfach nur daran gedacht hatte, das, was ich hier von 4A nach 4B wegnehme, mit Bouguers Formel für die Massenplatte zu berechnen. (Interessanterweise gibt das übrigens genau die halbe Kraft der ganzen Kugelschale.)

Und dann darf ich natürlich im Schritt von 4C ganze Erde nach 4D ganze Erde auch nur die Massenplatte obendrüber wieder dazutun, und die zieht in der Tat nach oben,

Gast

> Rotationsbewegungen im nicht mitrotierenden Bezugssystem sind aber nicht ganz ohne.

Günstigerweise haben wir diesen Fall hier nicht, unser Bezugssystem, der Erdboden, rotiert mit, und dort messen wir ja den Versatz. Ich versuche mal eine möglichst einfache Beschreibung, eventuell ganz im Sinne von Wagenschein, ich kenne das Buch allerdings nicht. Und Hookes virtuelles Federmännchen kriegt dann auch wieder was zu tun..

Der Coriolis-Effekt ist ein Trägheitseffekt, der auf der radiusabhängigen Bahngeschwindigkeit beruht. Solche Trägheitskräfte sind Scheinkräfte in rotierenden Systemen und führen bei radialer Bewegung in Richtung Zentrum zur Ablenkung in Richtung der Rotation. Nichts anderes beschreibt auch der waagerechte Wurf nach Osten, wobei die Startgeschwindigkeit das Produkt aus der Winkelgeschwindigkeit w der Erde (siderisch wenn's sein muss) und der Höhendifferenz h ist. v0=w*ra-w*rb = w*(rb+h)-w*rb = w*h. Der Versatz am Boden ist dann s=v0*Wurzel(2*h/g) = w*h*Wurzel(2*h/g). Für die Erde ist w=2pi/T=7,29*10^-5/s. Bei h=10m ist s=1mm, bei 50m sind es 12mm und bei h=100m sind es 33mm. Aber nur am Äquator. Fällte der Apfel in die hohle Erdachse gibt's keine Bahngeschwindigkeit und der Effekt fällt aus, dazwischen ist v0=w*h*cos(Breite). Soweit richtig?

Das schöne an Hookes Ansatz ist, dass man fast im Kopf rechnen kann. Fällte der Apfel jetzt in die leere Erdachse, dann wird er entlang der 6400 km erst mit 10 m/s^2 beschleunigt, im Zentrum mit null, dann geht's wieder aufwärts zur anderen Seite. Die mittlere Beschleunigung ist a=5m/s^2 und er erreicht im Zentrum eine Geschwindigkeit von v=Wurzel(2*a*R)=8km/s, was auch die 1. KG ist. Die komplette Schwingung dauert 2pi*Wurzel(R/g) oder etwa 5000 Sekunden, nach 84 Minuten ist der Apfel also wieder zurück. Und genau so lange braucht auch der Satellit nahe der Oberfläche für eine Umrundung der Erde.

Selbst die Differenz des Gravitationspotentials kann man mit Hookes Methode bestimmen. Die Energie der virtuellen Feder ist unten null und oben D*R^2/2=m*g*R/2, die Potentialdifferenz ist dann U=E/m=g*R/2. An der Oberfläche ist das Potential g*R, im Zentrum also 1,5 mal so groß wie oben, der gleiche Wert ergibt sich auch aus (g+a)/g.

Und um wieviel geht eine Uhr im Zentrum nach pro Tag? Wie groß ist der Zeitversatz der 'Uhr im Apfel', wenn sie nach 84 Minuten wieder ankommt? Doch nicht etwa die gleiche wie bei der im Satellit nach seiner Runde? Und wieso geht die Uhr an Bord eines Satelliten mit einem Orbit von (schon wieder diese Zahl) 1,5-fachem Erdradius genauso schnell wie die Vergleichsuhr der Bodenstation?

Die (Feder-)Spannung wächst. Aber Hooke und Newton verstehen die Frage gar nicht...

Hab' ich jetzt 'ursprünglich verstanden' und 'exakt gedacht' oder die teuflischen Details übersehen?

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

O, Ihr Könige der Physik, habt Ihr das schnell gerechnet, vielen, vielen Dank!

Ich mußte, um es nachzuprüfen zu können, mir tatsächlich den Kosinussatz wieder beibringen. Puh, was für eine Arbeit für die alten grauen Zellen. Euren eleganten Weg konnte ich nicht nehmen, der war mir zu hoch. So bin ich denn den niederen Weg gegangen und fing an, umständlich in Excel, mit Eurer Lösung 61, den Erdradius zu 6378 km genommen.
=cos(BOGENMASS(61)) mal 6378 mal 2 mal Pi = Umfang des Breitenkreises; diesen geteilt
durch 24 Std, durch 60 Minuten, durch 60 Sekunden; mal 1000 = 224,856 Meter pro Sekunde.
Bitte, kann mir jemand sagen ob das stimmt?
Ich hatte zuerst immer das Doppelte raus, 449 Meter pro Sekunde und dachte schon, Tycho Brahe hätte eine Reise zum Äquator unternommen, um sich einmal ordentlich, mit mehr als Schallgeschwindigkeit, herumschleudern zu lassen; - ich hatte den passus, den Doppelschritt der römischen Soldaten, doppelt genommen. Tycho war übrigens noch in Dänemark geboren, da Schonen erst 1658 an Schweden fiel.

Anschließend gelang es mir, eine excellige Vereinfachung zu komponieren:
In der einen Spalte (B..) stehen nun Zahlen für die Breitenkreise, 0, 10, 20... 61, bis 89,9; und in der zweiten Spalte steht pro Zelle daneben
=(COS(BOGENMASS(B..))*147,63889*PI()).

Ein kleines Herumschleudermaschinchen, ich hoffe, es stimmt, es zeigt jedenfalls die gleichen
Meterzahlen an wie oben. Ob jemand das auch nachprüfen will? Denn ich weiß schon nicht mehr, wie es gelingen konnte, alles in einer Zelle unterzubringen. Teufel auch, mein Gedächtnis läßt nach.

Luther: „ ... das ganze Firmament so schnell und behend bewegt, und in 24 Stunden umher läuft, in einem Huy und Nu, etliche tausend Meile-Wegs, welches vielleicht von einem Engel geschieht.“

Kepler schlug sich so damit herum: „...wird es geschehen, daß der Stein beim Herabfallen ein wenig von dem Lot abweicht, das man vom Mittelpunkt der Erde durch ihre Oberfläche nach dem Mittelpunkt des Steins zieht, und daß das Lot des Steins allmählich auf weiter westlich liegende Teile der Erdoberfläche trifft, wenn sich die Erde vom Westen nach Osten bewegt; es wird der Erde nicht vollkommen folgen, sondern von ihr zurückgelassen werden.“
(11. Oktober 1605).

Ihr habt’s ja schon bemerkt, hier irrte selbst der kaiserliche Mathematiker. Allerdings bemerkte er den Irrtum und versuchte ihn aufzulösen, was ihm nur auf eine künstliche, verworrene Weise gelungen sein soll, da er vom Beharrungsgesetz noch nichts wußte.
Der große Newton erst ... Davon später. Herzlichen Gruß in die Runde!

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Gast

Sehr gut, danke Markus, man lernt nie aus..

Ich war Galileis Gedanken gefolgt, und das trifft hier klar daneben. Im Bild unten sieht man warum das so ist.

Die 'flache Erde' Vereinfachung liefert s=w*h*Wurzel(2*h/g), aber die 'rückwärts' gerichtete Beschleunigung nimmt 1/3 davon wieder weg, und dadurch bleibt nur noch s=(2/3)*w*h*Wurzel(2*h/g) übrig. Das w für die Erde ist 2pi/86164s = 7,292*10^-5/s, h=10m bringt s=0,7mm, bei 25m sind es 2,7mm, bei 50m 7,8mm und bei h=100m ist s=22 mm, alles am Äquator und mit g=9,81m/^2, sonst mal cos(Breite).

Hier ist ein Stück Text, der auch den Beitrag von Robert Hooke unterstreicht:

"The 'backward' acceleration reduces the 3 cm deflection by 1 cm to 2 cm [h=100m], just as given by the Coriolis effect. But more interesting, retarding in its eastward motion, the object will, seen from outside the Earth, follow an elliptic path. The first to realize this was two famous British scientists, Robert Hooke and Isaac Newton. In November 1679 Robert Hooke, in his capacity as newly elected Secretary of the Royal Society, tried to draw Isaac Newton into a discussion on the motions of the planets and comets. But Newton had just returned from a long vacation at his family home in Lincolnshire - where he incidentally might have watched apples fall in the garden. Perhaps inspired by these falling apples he had something else on his mind, 'a fancy of my own', the horizontal deflection of objects dropped from a high altitude as proof of the Earth's rotation. The exchange of letters that followed during the winter 1679-80 between Newton and Hooke shows that it was thanks to Hooke, they came to realise that the fall of the body must be treated as an elliptic orbit with the centre of the Earth in one of its focii.

From the insight that a falling object in absolute space follows the same type of orbit as any of the planets or comets around the Sun, it was possible for Newton to infer that the motions of all terrestrial and extra-terrestrial bodies might be controlled by the same mechanism, universal gravitation. He never discovered the Coriolis effect, but looking for it found the laws of motion." [1]

Und dies hier ist aus 'Technische Physik', da steckt anscheinend noch Galileis Vereinfachung drin:

"Entdeckt wurde die Corioliskraft bei der Untersuchung unerklärlicher Abweichungen von Geschossbahnen, da beim Abschießen nach Norden stets eine Ostabweichung und beim Abschießen nach Süden stets eine Westabweichung auftritt."
"Lässt man einen Stein von einem Turm fallen, so fällt er nicht genau senkrecht, sondern wird etwas nach Osten abgelenkt. Bei 100m Höhe und einer nördlichen Breite von 54° ergibt sich eine Abweichung von 1,9 cm."

Richtig wäre eher 1,3 cm. Oder ist das auch noch viel zu viel? Der Irrtum ist immer und überall.
> "Für die eine Sekunde Fallzeit aus unserer Aufgabenstellung ist die Fallhöhe 25 m." Wirklich?
Eine Sekunde entspricht doch 5m Fall, und dafür stimmen die 0,24mm, bei 25m sind es dann 2,7mm.

[1] Anders Persson, The Coriolis Effect – a conflict between common sense and mathematics.
Daraus ist auch das folgende Bild komponiert. Dort steht auch zu lesen: "It is not commonly known that Leonard Euler already in 1749 derived analytically what was essentially the Coriolis acceleration", belegt mit einem Text von Euler.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das macht ja richtig Spaß mit so vielen schönen und fundierten Zitaten hier!

Opa · Anmeldungsdatum: 19.03.2006 Beiträge: 39 Wohnort: Bonn

> Er sagt, das Lot unter dem fallenden Stein trifft weiter im Westen auf als
der fallende Steins. <
Da hat dermarkus aber eine feinsinnige Spitzfindigkeit für mich eingebaut.
Zuerst möchte ich ihm und dank seiner Hilfe auch Opa zweimal Glückwünsche aussprechen!! Kepler unterscheidet in seinem Satz zwei Lote, meine ich. Einmal spricht er von d e m Lot, und er beschreibt dieses ganz genau. Dann bezieht er sich nur noch auf das Lot des Steins, das allmählich ... Mit allmählich drückt er wohl aus, wie der Stein sich nach und nach wieder der Erde nähert. Das Lot, das am Stein hängend gedachte, trifft kurz vor und auch während des Auftreffens des Steins auf weiter westlich liegende Teile der Erdoberfläche. Entscheidend ist damit: Der Stein trifft westlich auf. Kepler selbst hat später diesen Widerspruch bemerkt und zu korrigieren versucht.
Ist diese Sache nun ganz klar, dann dritter Glückwunsch!
Tycho und Kepler konnten die Sache nicht richtig lösen, es fehlte ihnen das Beharrungsgesetz, die Vorstellung oder die Tatsache der Trägheit.
Es war der große Newton, der 1679 der Royal Society ein wirklich entscheidendes Experiment vorschlug, doch die Physiker waren 112 Jahre lang gehindert oder zu faul, es durchzuführen. 1903 im Pantheon in Paris fand der letzte Versuch in dieser Frage statt.
Opa findet es bedenkenswert, von Tycho und Kepler 1600 bis Flammarion 1903 sind immerhin 300 Jahre vergangen, bis es den tüchtigen Physikern gelang, die Sache durch Experimente zu beweisen.
Gast mit der Frage nach ursprünglichem Denken, möge bedenken, um welche wichtige Sache es ging, und wie man sie dann mit exaktem Denken Kindern nahebringen kann, nicht den speziellen Physikkindern, sondern „allen“ Gymnasialkindern oder Hauptschülern.
Damit auch die Rechner mit Formeln nicht zu kurz kommen, darf ich um Nachprüfung des Ergebnisses von Guglielmini 1791 / 92 in Bologna bitten? Phi = 40 Grad und 30 Sekunden.
Fallhöhe 78,3 Meter. Beobachtete Abweichung 19 + - 2,5 mm, nach 16 Versuchen.
Berechnet?
Oh, neue Zeichnungen, wie herum dreht sich die Erde?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Die Sonne geht im Osten auf, also dreht sich die Erde nach Osten.

Newtons "Lot des Steins" lässt sich schön auf der rechten Seite in Gasts Bild wiederfinden: Die senkrecht zur Erdoberfläche gemeinten Striche und Pfeile zeigen die Richtung des Lots des Steins an, während der Stein fliegt.

Der Stein fliegt nach Osten. Also zeigt zu jedem Zeitpunkt des Fluges das Lot des Steins auf Punkte, die westlich vom Auftreffpunkt des Steines liegen.

Guglielminis Messung lässt mich grummeln und vermuten, dass er Galileis Theorie gekannt hat und seine Messfehler zu klein eingeschätzt hat. Denn meine Rechnung ergibt 12 mm.

Gast

Hartmut v. Hentigs Motto: "Die Sachen klären, die Menschen stärken."

> wie herum dreht sich die Erde?

Zwei Menschen stehen sich gegenüber, einer guckt nach Norden, der andere nach Süden.
Für beide dreht sich die Erde nach Osten, für einen nach rechts, für den anderen nach links.
Im Süden steht die Mittagssonne im Norden. Aber da ist ja auch Weihnachten im Sommer..

Die Landkarte ist nicht die Landschaft, die Theorie nicht die Realität.

Im Spiegel ist doch links und rechts vertauscht, warum nicht auch oben und unten?

(-; Vorsicht, doppelter Boden ;-)

> .. Abweichung 19 + - 2,5 mm, nach 16 Versuchen.

Luft im Spiel. Macht das was?

Hier ist noch so ein Experiment, 1803 in Schlebusch (51°), Schacht 90 m tief, 29 Eisen-Murmeln (?).